Jakiś problem?

Bez kategorii

Pochodna w zadaniach z treścią

by  •  • 0 Comments

Teoria Bardzo ciekawe zastosowanie pochodnej związane jest z zagadnieniami geometrii, ekonomii, fizyki i innych dziedzin, gdy szukamy najbardziej optymalnych rozwiązań w zależności od różnego rodzaju parametrów (gdy na przykład chcemy znaleźć pole największe pole powierzchni figury w zależności od różnych długości jej wymiarów, lub optymalne koszty w zależności od innych parametrów.) W takim przypadku korzystamy z wiedzy jaką zdobyliśmy podczas wyznaczania największej i najmniejszej wartości funkcji oczywiście z wykorzystaniem ekstremum funkcji i jej pochodnej.

Podstawową trudnością podczas rozwiązywania tego typu problemów jest znalezienie funkcji zależności między szukaną wartością a parametrami tak, aby była to funkcja jednej zmiennej. Potem postępujemy już tak, jak przy zwykłym wyznaczaniu największej lub najmniejszej wartości funkcji. Zilustrujmy to przykładem:

Przykład Przykład

Który z trójkątów równoramiennych o obwodzie równym S=4 ma największe pole powierzchni?

wykres

Wprowadzamy oznaczenia:

P – pole powierzchni,
h – wysokość trójkąta,
a – podstawa trójkąta,
b – długość ramion trójkąta,
S=4 – obwód trójkąta.

Szukamy największego pola powierzchni, które w przypadku trójkąta wyraża się wzorem:

P=\frac{1}{2}ah.

Nie możemy skorzystać jeszcze z wiadomości o ekstremum funkcji, ponieważ powyższy wzór się do tego nie nadaje. Mamy bowiem pole powierzchni P uzależnione od zmiennej a o9raz h. Skorzystajmy zatem z tego, że dany jest obwód trójkąta:

S=4=2b+a

Stąd możemy a wyrazić poprzez inną zmienną (będzie wygodniej):

a=4-2b

Na podstawie twierdzenia Pitagorasa możemy napisać:

h^2+(\frac{1}{2}a)^2=b^2\\ h^2=b^2-\frac{1}{4}a^2

a wyznaczyliśmy nieco wcześniej, więc wstawiamy do powyższego wzoru:

h^2=b^2-\frac{1}{4}(4-2b)^2=b^2-\frac{1}{4}(16-16b+4b^2)=b^2-4+4b-b^2=4b-4=4(b-1)\\ h=\sqrt{4(b-1)}=2\sqrt{b-1}

Wstawiamy wyliczoną wartość a oraz h do wzoru na pole trójkąta:

P=\frac{1}{2}ah=\frac{1}{2}(4-2b)\cdot 2\sqrt{b-1}\\ P=(4-2b)\sqrt{b-1}

Ponieważ pole powierzchni trójkąta jest teraz funkcją jednej zmiennej, możemy szukać ekstremum funkcji. Szukamy go w miejscach, w których pochodna jest równa zeru. Obliczamy więc pochodną funkcji P(b) – jest to pochodna iloczynu funkcji:

P'=[(4-2b)\sqrt{b-1}]'=(4-2b)'\sqrt{b-1}+(4-2b)(\sqrt{b-1})'=-2\sqrt{b-1}+(4-2b)\cdot \frac{1}{2\sqrt{b-1}}=\\ =-2\sqrt{b-1}+\cancel{2}(2-b)\frac{1}{\cancel{2}\sqrt{b-1}}=\frac{-2\sqrt{b-1}\cdot \sqrt{b-1}}{\sqrt{b-1}}+\frac{2-b}{\sqrt{b-1}}=\frac{-2(b-1)+2-b}{\sqrt{b-1}}=\frac{4-3b}{\sqrt{b-1}}

Szukamy ekstremum w punkcie, w którym pochodna jest równa zeru:

P'=0\Leftrightarrow \frac{4-3b}{\sqrt{b-1}}=0

Ułamek jest równy zeru, gdy licznik jest zerem.

4-3b=0\\ 3b=4/:3\\ b=\frac{4}{3}

Gdy b=4/3 pole powierzchni osiąga maksimum lub minimum. Zauważamy, że dla b mniejszych od 4/3 pochodna przyjmuje dodatnie wartości, natomiast dla pozostałych – wartości ujemne. Pochodna przechodzi więc przez punkt 4/3 ze znaku dodatniego w ujemny – osiąga więc w tym punkcie maksimum.

Obliczmy jeszcze długość podstawy a:

a=4-2b=4-2\cdot \frac{4}{3}=\frac{4}{3}

oraz pole P:

P=(4-3b)\sqrt{b-1}=(4-2\cdot \frac{4}{3})\sqrt{\frac{4}{3}-1}=(\frac{12}{3}-\frac{8}{3})\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{4}{3\sqrt{3}}=\frac{4\sqrt{3}}{9}

Odpowiedź: Pole trójkąta o obwodzie S=4 jest największe, gdy wszystkie jego boki są równe i mają długość 4/3

Zadanie 507 – zastosowanie pochodnej funkcji w zadaniu z treścią

 

Jakie wymiary powinna mieć metalowa puszka w kształcie walca, aby przy określonej pojemności V zużyć możliwie najmniej blachy do jej wykonania?

 

ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

walecV=\pi r^2h\\ h=\frac{V}{\pi r^2}\\ S=2\pi r^2+2\pi rh=2\pi r^2+2\pi r\cdot \frac{V}{\pi r^2}\\ S=2\pi r^2+\frac{2V}{r}\\ S'=4\pi r-\frac{2V}{r^2}\\ S'=0\\ \frac{4\pi r^3}{r^2}-\frac{2V}{r^2}=0\\ 4\pi r^3-2V=0/:4\pi \\r^3=\frac{2V}{4\pi} \\ r_{min}=\sqrt[3]{\frac{2V}{4\pi}}\\ h_{min}=\frac{V}{\pi r^2}=\frac{V}{\pi \sqrt[3]{\frac{V^2}{4\pi ^2}}}=\frac{V\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi }}}{\pi\cdot \frac{V}{2\pi}}=\frac{1}{2}\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}=\frac{1}{2}r_{min}

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Rysunek przedstawia kształt puszki. Wprowadzamy oznaczenia: walec
h – wysokość puszki (walca)
r – promień podstawy puszki (koła)
V – objętość walca (pojemność puszki)
S – pole powierzchni walca (ilość zużytej blachy)

Korzystamy ze wzoru na pole powierzchni walca:

S=2\pi r^2+2\pi rh

Jeśli go nie pamiętasz, łatwo go można sobie wyprowadzić. Pole powierzchni walca jest równe polu obu podstaw (dwa razy pole koła) oraz polu powierzchni ściany bocznej (prostokąt o bokach długość równych wysokości walca oraz obwodowi koła, stanowiącego podstawę walca).

Mamy funkcję dwóch zmiennych (r i h). Skorzystajmy więc z danego w zadaniu V, czyli wzoru na objętość walca (pole podstawy razy wysokość):

V=\pi r^2h

Z drugiego równania wyznaczymy h w wstawimy do wzoru na pole powierzchni.

V=\pi r^2h/:\pi r^2 \\ h=\frac{V}{\pi r^2}\\ S=2\pi r^2+2\pi rh\\ S=2\pi r^2+2\cancel{\pi r} \cdot \frac{V}{\cancel{\pi} r^{\cancel{2}}}\\ S=2\pi r^2+\frac{2V}{r}tłotło

Mamy do czynienia z funkcją jednej zmiennej r (V jest daną liczbą). Szukamy minimum (ekstremum) w punktach w których pochodna przyjmuje wartość zero. Obliczamy więc pochodną funkcji S(r) (względem zmiennej r)

S=2\pi r^2+2V\cdot r^{-1} \\ S'=2\pi \cdot 2r+2V\cdot (-1)\cdot r^{-2}\\ S'=4\pi r-\frac{2V}{r^2}

Pochodna jest równa zeru:

S'=0\\ 4\pi r-\frac{2V}{r^2}=0\\ 4\pi r\cdot \frac{r^2}{r^2}-\frac{2V}{r^2}=0\\ \frac{4\pi r^3-2V}{r^2}=0

Ułamek jest równy zeru, gdy jego licznik jest równy zero.

4\pi r^3-2V=0\\ 4\pi r^3=2V/:4\pi\\ r^3=\frac{2V}{4\pi}\\ r=\sqrt[3]{\frac{2V}{4\pi}}

W tym punkcie mamy ekstremum o ile pochodna zmienia znak. Zbadajmy znak pochodnej:

S'>0\\ \frac{4\pi r^3-2V}{r^2}>0

W mianowniku ułamka jest kwadrat liczby (jest dodatni), więc licznik również musi być dodatni:

4\pi r^3-2V>0/:4\pi\\ r^3-\frac{2V}{4\pi}>0 \\ r^3-(\sqrt[3]{\frac{2V}{4\pi}})^3>0

Skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia:

a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)

Mamy więc:

(r-\sqrt[3]{\frac{2V}{4\pi}})(r^2+2r\sqrt[3]{\frac{2V}{4\pi}}+(\sqrt[3]{\frac{2V}{4\pi}})^2)>0

Drugi człon jest dodatni (mamy sumę dodatnich czynników), a iloczyn dwóch liczb jest dodatni, gdy obie liczby są dodatnie lub ujemne (ten przypadek tutaj nie występuje). Możemy więc napisać, że:

r-\sqrt[3]{\frac{2V}{4\pi}}>0\\ r>\sqrt[3]{\frac{2V}{4\pi}}

Analogicznie możemy napisać, że:

S'<0 \Leftrightarrow r<\sqrt[3]{\frac{2V}{4\pi}}

Zatem w punkcie r=\sqrt[3]{\frac{2V}{4\pi}} pochodna przechodzi ze znaku ujemnego w dodatni – funkcja S(r) osiąga minimum

r_{min}=\sqrt[3]{\frac{2V}{4\pi}}

Musimy jeszcze znaleźć wymiar h:

h_{min}=\frac{V}{\pi r^2}=\frac{V}{\pi (\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}})^2}=\frac{V}{\pi \sqrt[3]{\frac{V^2}{4\pi ^2}}}=\frac{V\cdot \sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}}{\pi \sqrt[3]{\frac{V^2}{4\pi ^2}}\cdot \sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}}=\frac{V\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi }}}{\pi\cdot \frac{V}{2\pi}}=\frac{1}{2}\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}=\frac{1}{2}r_{min}

Zatem na wykonanie puszki zużyjemy najmniej blachy, jeżeli średnica (2 razy promień) podstawy będzie równa wysokości puszki.

ksiązki Odpowiedź

Puszka powinna mieć wymiary r_{min}=\sqrt[3]{\frac{2V}{4\pi}}, \ h_{min}=\frac{1}{2}r_{min}

Zadanie 506 – zadanie z treścią – zastosowanie pochodnej

 

Rzucony kamień zakreśla w powietrzu tor opisany równaniem y=x-x^2. Jakie jest maksymalne wzniesienia kamienia?

 

ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

y'=1-2x\\ y'=0\Leftrightarrow 1-2x=0\\ 2x=1/:2 \\ x=\frac{1}{2}\\ y_{max}=\frac{1}{2}-(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Mamy już ułatwione zadanie, gdyż podane jest gotowe równanie jednej zmiennej. Szukamy maksymalnego wzniesienia kamienia, czyli maksymalną wartość zmiennej y. Szukamy więc ekstremum funkcji y=f(x). W tym celu obliczamy pochodną:

y'=(x-x^2)'=1-2x

Szukamy ekstremum funkcji w punkcie, w którym pochodna jest równa zeru:

y'=0\\ 1-2x=0 \\ 2x=1/:2 \\ x=\frac{1}{2}

W tym punkcie funkcja osiąga ekstremum, o ile zmienia w tym punkcie znak z ujemnego na dodatni lub z dodatniego na ujemny. Jak widać dla wartości mniejszych od 1/2 pochodna funkcji y’=1-2x przyjmuje dodatnie wartości, a dla x większych od 1/2 pochodna jest ujemna. Zatem funkcja osiąga w tym miejscu maksimum. Obliczmy wartość funkcji w tym punkcie:

f(\frac{1}{2})=\frac{1}{2}-(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}=\frac{2}{4}-\frac{1}{4}=\frac{1}{4}

ksiązki Odpowiedź

Maksymalne wzniesienie kamienia wynosi 1/4

Dodaj komentarz

Twój adres e-mail nie zostanie opublikowany. Wymagane pola są oznaczone *