Jakiś problem?

Bez kategorii

Ekstremum funkcji

by  •  • 0 Comments

Teoria Ekstremum funkcji nazywamy minimum funkcji lub maksimum funkcji. Poniżej zdefiniowano oba pojęcia w oparciu o założenie: x_0\in (a,b) i funkcja f jest określona w tym przedziale.

Maksimum funkcji

Definicja Definicja

Funkcja f osiąga w punkcie x0 maksimum, jeżeli istnieje taki przedział (m,n)\subset(a,b) o środku w punkcie x0, w którym dla każdego x\in (m,n)
różnego od x0 spełniona jest nierówność f(x)<f(x_0)

Przykład Przykład

Rysunek ilustruje wykres funkcji f(x)=-x2+1.

Maksimum funkcji

Widzimy, że funkcja ma jedno maksimum w punkcie x0=0 równe 1.
Przedział (m,n), o którym mowa w definicji to może być dla przykładu przedział (-1,1), albo (-100,100) lub (-5,5). Widzimy, że dla dowolnej liczby różnej od x0 z tych przykładowych przedziałów wszystkie wartości funkcji są mniejsze od maksimum, czyli wartości funkcji w punkcie x0=0.

Minimum funkcji

Definicja Definicja

Funkcja f osiąga w punkcie x0 minimum, jeżeli istnieje taki przedział (m,n)\subset(a,b) o środku w punkcie x0, w którym dla każdego x\in (m,n)
różnego od x0 spełniona jest nierówność f(x)>f(x_0)

Przykład Przykład

Rysunek ilustruje wykres funkcji f(x)=x2+1.

Minimum funkcji

Widzimy, że funkcja ma jedno minimum w punkcie x0=0 równe 1.
Przedział (m,n), o którym mowa w definicja to może być dla przykładu przedział (-1,1), albo (-100,100) lub (-5,5). Widzimy, że dla dowolnej liczby różnej od x0 z tych przykładowych przedziałów wszystkie wartości funkcji są większe od minimum, czyli wartości funkcji w punkcie x0=0.

Minimum i maksimum są pojęciami lokalnymi, to znaczy, że obowiązują jedynie w pewnym przedziale. Funkcja może mieć kilka minimum i kilka maksimum jednocześnie. Zdarza się też, że minimum może być większe niż maksimum. Przyjrzyjmy się poniższej ilustracji, na której wykreślono funkcję określoną w przedziale <0,4>.

Minimum i maksimum funkcji

Mamy tutaj dwa maksima i dwa minima. Widać, że minimum 2 jest takie samo jak maksimum 1 (minimum wcale nie musi być mniejsze od maksimum). Ponadto minimum wcale nie oznacza najmniejszej wartości funkcji (tutaj równej 0), a maksimum nie musi być równe największej wartości funkcji, która w tym przypadku wynosi 4.

Dlaczego w punkcie x=4 nie mamy maksimum, a w w punkcie x=0 nie mamy minimum? Dlatego, że nie możemy określić przedziału (m,n), o którym mowa w definicji, a którego punkty 0 i 4 byłyby środkiem. Są to w tym przypadku najmniejsze i największe wartości funkcji.

Zadanie 499 – ekstremum funkcji i pochodna

Znaleźć ekstremum funkcji f(x)=2x-\frac{1}{x}.

ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

f'(x)=2+\frac{1}{x^2}\\ f'(x)=0\\ 2+\frac{1}{x^2}=0\\ \frac{2x^2+1}{x^2}=0\\ 2x^2+1=0\\ \Delta<0\\ a>0
Funkcja nie posiada ekstremum

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Dana jest funkcja f(x)=2x-\frac{1}{x}

Aby znaleźć ekstremum funkcji musimy wytypować punkty, w których należy ich szukać. Jeżeli funkcja ma ekstremum w punkcie x0 i ma w tym punkcie pochodną, to jest ona równa zero. Obliczamy pochodną.

f'(x)=(2x-\frac{1}{x})'=(2x-x^{-1})'=2+x^{-2}=2+\frac{1}{x^2}

Warunkiem koniecznym istnienia ekstremum, jak już wcześniej wspomnieliśmy, jest to, aby pochodna była równa zeru:

f'(x)=0\\ 2+\frac{1}{x^2}=0\\ 2\cdot \frac{x^2}{x^2}+\frac{1}{x^2}=0\\ \frac{2x^2+1}{x^2}=0

Ułamek jest równy zero, gdy licznik jest równy zero:

2x^2+1=0

Mamy zwykłe równanie kwadratowe

\Delta=b^2-4ac=0-4\cdot 2=-8<0

Ponieważ współczynnik a jest dodatni, a wyróżnik trójmianu ujemny, ramiona paraboli są skierowane ku górze, wykres znajduje się nad osią OX. Funkcja przyjmuje tylko wartości dodatnie. Ponieważ pochodna funkcji w żadnym punkcie nie przyjmuje wartości równej zero, to funkcja nie ma w całej swojej dziedzinie ekstremum.

ksiązki Odpowiedź

Funkcja nie posiada ekstremum.

 

Żródło: http://www.medianauka.pl/pochodna_a_ekstremum

Dodaj komentarz

Twój adres e-mail nie zostanie opublikowany. Wymagane pola są oznaczone *