-„Czy zbiór wszystkich zbiorów, które nie zawierają siebie samych, zawiera sam siebie?”
-„Jeśli zawiera, to nie zawiera. A jeśli nie zawiera to zawiera”
Innymi słowy zbiór wszystkich zbiorów, które nie zawierają siebie samych, zawiera sam siebie wtedy i tylko wtedy kiedy sam siebie nie zawiera (Z ∈ Z wtedy i tylko wtedy, gdy Z ∉ Z.)
Paradoks odkryty w 1901 r. przez Bernarda Russella, wskazuje na zasadniczy niedostatek teorii zbiorów Georga Cantora, będącej rozwinięciem prostego pojęcia „kolekcji elementów mających jakąś wspólną cechę”, wprowadzonego przez Bolzanę.
Zbiór wszystkich zbiorów jest zbiorem (a tym samym zawiera sam siebie), tak jak zbiór wszystkich haseł na liście (może pojawić się jako hasło na liście), ale zbiór wszystkich liczb nie jest liczbą, a tym samym nie zawiera sam siebie. Odwołując się do tej własności, możemy zdefiniować „zbiór wszystkich zbiorów, które nie zawierają same siebie” i zapytać, czy ten zbiór zawiera sam siebie, czy nie. Jeśli ten zbiór zawiera sam siebie (Z ∈ Z), to jest jednym ze zbiorów, które nie zawierają same siebie ({Z:Z ∉ Z}), a tym samym nie może siebie zawierać. Ale jeśli nie zawiera sam siebie, to nie ma cechy „niezawierania samego siebie”, a tym samym zawiera sam siebie.
Chociaż historycznie paradoks Russella powstał w kontekście teorii zbiorów, sam Russell postrzegał go później jako przypadek zasadniczo związany z autoreferencjnością, to znaczy rodzajem wypowiedzi, które odnoszą się do samych siebie, jak zdanie Eubulidesa: „Teraz mówię wam nieprawdę”.
Przypuśćmy, że Z to zbiór wszystkich zbiorów, czyli Z={X:1}.
Na mocy twierdzenia Cantora można udowodnić, że zbiór potęgowy dowolnego zbioru X (zbiór wszystkich podzbiorów zbioru X) ma moc większą od mocy X.
A zatem zbiór potęgowy z Z ma moc wiekszą od mocy Z, co jest niemożliwe, gdyż z definicji Z jego zbiór potęgowy także się w nim zawiera.
Paradoks ten jest po prostu dowodem, mówiącym, że nie ma zbioru wszystkich zbiorów. Było to jednak stwierdzenie o tyle paradoksalne, iż twórcy teorii mnogości nie widzieli żadnych podstaw, aby uniknąć jego istnienia. W końcu okazało się, że problem leżał w nieścisłym określeniu pojęcia zbioru. Skuteczna aksjomatyka teorii mnogości pozwoliła zbudować spójną teorię wolną od paradoksów.
ZBIÓR POTĘGOWY
If S is the set {x, y, z}, then the subsets of S are:
- {} (also denoted
, the empty set) - {x}
- {y}
- {z}
- {x, y}
- {x, z}
- {y, z}
- {x, y, z}
and hence the power set of S is {{}, {x}, {y}, {z}, {x, y}, {x, z}, {y, z}, {x, y, z}}.
