{"id":1555,"date":"2016-08-10T12:00:14","date_gmt":"2016-08-10T11:00:14","guid":{"rendered":"http:\/\/www.venco.com.pl\/~cozy\/blog\/?p=1555"},"modified":"2016-08-10T12:00:14","modified_gmt":"2016-08-10T11:00:14","slug":"liczba-i","status":"publish","type":"post","link":"http:\/\/u239160.webh.me\/jakisproblem.pl\/index.php\/2016\/08\/10\/liczba-i\/","title":{"rendered":"Liczba i"},"content":{"rendered":"<p><!--  <script type=\"text\/x-mathjax-config\">\/\/ <![CDATA[\nMathJax.Hub.Config({\"HTML-CSS\": { preferredFont: \"TeX\", availableFonts: [\"STIX\",\"TeX\"], linebreaks: { automatic:true }, EqnChunk: (MathJax.Hub.Browser.isMobile ? 10 : 50) },\ntex2jax: { inlineMath: [ [\"$\", \"$\"], [\"\\\\\\\\(\",\"\\\\\\\\)\"] ], displayMath: [ [\"$$\",\"$$\"], [\"\\\\[\", \"\\\\]\"] ], processEscapes: true, ignoreClass: \"tex2jax_ignore|dno\" }, TeX: {  noUndefined: { attributes: { mathcolor: \"red\", mathbackground: \"#FFEEEE\", mathsize: \"90%\" } }, Macros: { href: \"{}\" } }, messageStyle: \"none\"});\n\/\/ ]]><\/script>\n<script src=\"\/\/beta.mathjax.org\/mathjax\/latest\/MathJax.js?config=TeX-AMS_HTML-full\"><\/script> --><\/p>\n<p><script type=\"text\/javascript\" src=\"http:\/\/cdn.mathjax.org\/mathjax\/latest\/MathJax.js?config=TeX-AMS-MML_HTMLorMML\"><\/script><\/p>\n<p>Spr\u00f3bujmy rozwi\u0105za\u0107 r\u00f3wnanie $x^2 + 1 = 0$. Je\u015bli ma ono rozwi\u0105zanie, musi by\u0107 nim liczba, kt\u00f3rej kwadrat wynosi -1, ale kwadrat ka\u017cdej liczby rzeczywistej jest dodatni. Wydaje si\u0119 wi\u0119c, \u017ce brak jest rozwi\u0105za\u0144 tego r\u00f3wnania. Je\u015bli chcemy, by mimo wszystko powy\u017csze r\u00f3wnanie mia\u0142o jakie\u015b rozwi\u0105zanie, trzeba wymy\u015bli\u0107 jakie\u015b nowe liczby, kt\u00f3rych kwadrat by\u0142by ujemny. Czy takie liczby mog\u0105 by\u0107 &#8222;realne&#8221;? Mog\u0105, pod warunkiem, \u017ce ich pojawienie si\u0119 nie zagrozi byt\u00f3w ju\u017c istniej\u0105cych.<\/p>\n<p>Takie liczby zosta\u0142y wprowadzone przez Kartezjusza w XVII wieku, cho\u0107 wcze\u015bniej operowa\u0142 nimi ju\u017c Girolamo Cardano, kt\u00f3ry rozpatrywa\u0142 oto takie zadanie:<br \/>\nPodzieli\u0107 10 na dwie cz\u0119\u015bci, kt\u00f3rych iloczyn r\u00f3wny jest 40.<br \/>\nDalej pisa\u0142: Podzielmy 10 na dwie r\u00f3wne cz\u0119\u015bci, ka\u017cda r\u00f3wna 5. Mno\u017c\u0105c otrzymujemy 25. Od tej liczby odejmujemy 40 i dostajemy -15. Teraz \\[sqrt \u221215\\] dodane i odj\u0119te od 5 daje liczby, kt\u00f3rych iloczyn r\u00f3wny jest 40. Liczby te to: \\[5\u2212\\sqrt \u221215\\] i \\[5+\\sqrt \u221215\\].<br \/>\nDalej udowadnia\u0142: Pomn\u00f3\u017cmy \\[5+\\sqrt \u221215\\] przez \\[5\u2212\\sqrt \u221215\\], a otrzymamy 25 &#8211; (-15), co daje 40.<\/p>\n<p>Tak powsta\u0142 nowy byt matematyczny, kt\u00f3rego nazwano <b>imaginarius<\/b> &#8211; liczby wyimaginowane, urojone. Zosta\u0142y wprowadzone po to, by uzyska\u0107 kwadrat ujemny! W 1777 roku Leonhard Euler w miejsce $\\sqrt \u22121$, wprowadzi\u0142 symbol <em>i<\/em>, kt\u00f3ry oznacza jednostk\u0119 urojon\u0105 wynosz\u0105c\u0105 pierwiastek z minus jeden. I tym w\u0142a\u015bnie jest <em>i<\/em> &#8211; pierwiastkiem z minus jeden.<\/p>\n<p>$$i=\\sqrt \u22121$$<\/p>\n<p>Jednak za\u0142o\u017cenie to jest niewystarczaj\u0105ce, dlatego te\u017c nale\u017cy dodatkowo za\u0142o\u017cy\u0107<br \/>\n$$i^2 = -1$$<br \/>\noraz<br \/>\n$$-i^2 = -i \u00b7 (-i) = +i^2 = -1$$<\/p>\n<p>Nowe liczby w po\u0142\u0105czeniu z liczbami rzeczywistymi tworz\u0105 tzw liczby zespolone, kt\u00f3re posiadaj\u0105 w\u0142asne dzia\u0142ania arytmetyczne i przed kt\u00f3rymi otwiera si\u0119 ogromne pole zastosowa\u0144.<\/p>\n<p>Liczba <em>i<\/em> opisuje r\u00f3wnie\u017c obr\u00f3t o 90 stopni, dwa takie obroty czyli $i^2$ daje obr\u00f3t o 180 stopni, albowiem skr\u0119cenie -1 jest p\u00f3\u0142obrotem &#8211; odpowiada jednok\u0142adno\u015bci, kt\u00f3ra jest symetri\u0105 \u015brodkow\u0105. Liczba &#8211;<em>i<\/em> odpowiada r\u00f3wnie\u017c obrotowi, jednak w drug\u0105 stron\u0119 ni\u017c obr\u00f3t wyznaczony przez <em>i<\/em>.<\/p>\n<p>\u017ar\u00f3d\u0142o: <a href=\"http:\/\/www.math.edu.pl\/liczba-i\" target=\"_blank\">Math.edu.pl<\/a><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p class=\"excerpt\">Spr\u00f3bujmy rozwi\u0105za\u0107 r\u00f3wnanie $x^2 + 1 = 0$. Je\u015bli ma ono rozwi\u0105zanie, musi by\u0107 nim liczba, kt\u00f3rej kwadrat wynosi -1, ale kwadrat ka\u017cdej liczby rzeczywistej jest dodatni. Wydaje si\u0119 wi\u0119c, \u017ce brak jest rozwi\u0105za\u0144 tego r\u00f3wnania. Je\u015bli chcemy, by mimo wszystko powy\u017csze r\u00f3wnanie mia\u0142o jakie\u015b rozwi\u0105zanie, trzeba wymy\u015bli\u0107 jakie\u015b nowe liczby, kt\u00f3rych kwadrat by\u0142by ujemny.&hellip;<\/p>\n<p class=\"more-link-p\"><a class=\"more-link\" href=\"http:\/\/u239160.webh.me\/jakisproblem.pl\/index.php\/2016\/08\/10\/liczba-i\/\">Read more &rarr;<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[1],"tags":[11],"class_list":["post-1555","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-bez-kategorii","tag-matematyka"],"_links":{"self":[{"href":"http:\/\/u239160.webh.me\/jakisproblem.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1555","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"http:\/\/u239160.webh.me\/jakisproblem.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"http:\/\/u239160.webh.me\/jakisproblem.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/u239160.webh.me\/jakisproblem.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/u239160.webh.me\/jakisproblem.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=1555"}],"version-history":[{"count":0,"href":"http:\/\/u239160.webh.me\/jakisproblem.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1555\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"http:\/\/u239160.webh.me\/jakisproblem.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=1555"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"http:\/\/u239160.webh.me\/jakisproblem.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=1555"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"http:\/\/u239160.webh.me\/jakisproblem.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=1555"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}