{"id":1491,"date":"2016-08-10T09:47:26","date_gmt":"2016-08-10T08:47:26","guid":{"rendered":"http:\/\/www.venco.com.pl\/~cozy\/blog\/?p=1491"},"modified":"2016-08-10T09:47:26","modified_gmt":"2016-08-10T08:47:26","slug":"liczba-e","status":"publish","type":"post","link":"http:\/\/u239160.webh.me\/jakisproblem.pl\/index.php\/2016\/08\/10\/liczba-e\/","title":{"rendered":"Liczba e"},"content":{"rendered":"<p><!-- <script type=\"text\/x-mathjax-config\">\nMathJax.Hub.Config({\"HTML-CSS\": { preferredFont: \"TeX\", availableFonts: [\"STIX\",\"TeX\"], linebreaks: { automatic:true }, EqnChunk: (MathJax.Hub.Browser.isMobile ? 10 : 50) },\ntex2jax: { inlineMath: [ [\"$\", \"$\"], [\"\\\\\\\\(\",\"\\\\\\\\)\"] ], displayMath: [ [\"$$\",\"$$\"], [\"\\\\[\", \"\\\\]\"] ], processEscapes: true, ignoreClass: \"tex2jax_ignore|dno\" }, TeX: {  noUndefined: { attributes: { mathcolor: \"red\", mathbackground: \"#FFEEEE\", mathsize: \"90%\" } }, Macros: { href: \"{}\" } }, messageStyle: \"none\"});\n<\/script>\n<script src=\"\/\/beta.mathjax.org\/mathjax\/latest\/MathJax.js?config=TeX-AMS_HTML-full\"><\/script>\n--><\/p>\n<p><script type=\"text\/javascript\" src=\"http:\/\/cdn.mathjax.org\/mathjax\/latest\/MathJax.js?config=TeX-AMS-MML_HTMLorMML\"><\/script><\/p>\n<p>Liczba <i>e<\/i> pojawi\u0142a si\u0119 w matematyce w zupe\u0142nie innych okoliczno\u015bciach ani\u017celi bardziej znana liczba pi. W staro\u017cytno\u015bci nie znano jej, pojawi\u0142a si\u0119 dopiero w XVI wieku za spraw\u0105 szkockiego matematyka Johna Napiera (Nepera), kt\u00f3ry u\u0142o\u017cy\u0142 tablice logarytm\u00f3w, bardzo pomocne przy skomplikowanych obliczeniach astronomicznych. Logarytmy bowiem wymy\u015blono, aby zamieni\u0107 mno\u017cenie na dodawanie. Przez setki lat, cudowna w\u0142asno\u015b\u0107 logarytm\u00f3w, dzi\u0119ki kt\u00f3rej z pomoc\u0105 tablic lub dw\u00f3ch linijek z logarytmiczn\u0105 skal\u0105 &#8211; mo\u017cna by\u0142o dodawa\u0107 zamiast mno\u017cy\u0107, u\u0142atwia\u0142a astronomom \u017cycie. Dzi\u015b, w epoce komputer\u00f3w, zastosowanie logarytm\u00f3w do mno\u017cenia ma mniejsze znaczenie praktyczne.<\/p>\n<p>Liczb\u0119 <i>e<\/i> definiujemy jako granic\u0119<\/p>\n<p>\\[ e= \\lim_{n\\to \\infty} \\left( 1+\\frac{1}{n} \\right)^n \\]<\/p>\n<p>Granica ta zbli\u017ca si\u0119 do 2.718281828459045235360287&#8230;, liczby niewymiernej i niealgebraicznej. W 1873 roku Charles Hermite pokaza\u0142, \u017ce <i>e<\/i> jest przest\u0119pna.<\/p>\n<p>Liczba <i>e<\/i> nazywana jest tak\u017ce liczb\u0105 Napiera (Napera), oznaczenie &#8222;<i>e<\/i>&#8221; wprowadzi\u0142 w 1736 roku Leonhard Euler, kt\u00f3ry bada\u0142 r\u00f3\u017cne liczby i oznacza\u0142 je literami alfabetu. Na t\u0119 liczb\u0105 wypad\u0142o akurat <i>e<\/i>.<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>Liczb\u0119 <i>e<\/i> mo\u017cna otrzyma\u0107 tak\u017ce jako wynik sumy szeregu odwrotno\u015bci silni kolejnych liczb naturalnych:<br \/>\n\\[ e = \\sum_{n=0}^\\infty \\frac{1}{n!} = 1+\\frac{1}{1!} +\\frac{1}{2!} +\\frac{1}{3!} + &#8230;  +\\frac{1}{n-1!} + \\frac{1}{n!} \\]<\/p>\n<p>Im wi\u0119ksze we\u017amiemy <i>n<\/i>, tym dok\u0142adniejsze przybli\u017cenie otrzymamy. Wz\u00f3r ten bardzo szybko daje dobre przybli\u017cenia, dla <i>n<\/i> = 10 otrzymujemy dok\u0142adn\u0105 warto\u015b\u0107 liczby do pi\u0105tej cyfry po przecinku.<\/p>\n<p>Przybli\u017con\u0105 warto\u015b\u0107 liczby <i>e<\/i> mo\u017cna obliczy\u0107 z dowoln\u0105 dok\u0142adno\u015bci\u0105 wed\u0142ug wzoru:<br \/>\n\\[ e^x = \\sum_{n=0}^\\infty \\frac{x^n}{n!} \\]<br \/>\nJest to rozwini\u0119cie funkcji wyk\u0142adniczej <i>f(x) = e<sup>x<\/sup><\/i> w tzw. szereg Maclaurina<br \/>\nStosuje si\u0119 te\u017c oznaczenie <i>e<\/i><sup><i>x<\/i><\/sup> = exp(<i>x<\/i>) (wyk\u0142adnik po \u0142acinie to exponens). Funkcja wyk\u0142adnicza <i>f(x) = e<sup>x<\/sup><\/i> jako jedyna ma pochodn\u0105 r\u00f3wna sobie samej.<\/p>\n<p>Logarytmy naturalne wzi\u0119\u0142y si\u0119 st\u0105d, \u017ce zosta\u0142y wymy\u015blone jako naturalny spos\u00f3b zamiany mno\u017cenia w dodawanie. Funkcje logarytmiczne s\u0105 odwrotne do funkcji wyk\u0142adniczych i w\u0142a\u015bnie <i>e<\/i> jest podstaw\u0105 tej odwrotnej do logarytmu naturalnego funkcji. Logarytm przy podstawie <i>e<\/i> nazywamy logarytmem naturalnym i oznaczamy <i>ln<\/i>.<\/p>\n<p><b>Wyst\u0119powanie liczby <i>e<\/i><\/b><\/p>\n<p>Liczb\u0119 Napiera mo\u017cna spotka\u0107 w bankowo\u015bci. Inwestuj\u0105c pewn\u0105 sum\u0119 pieni\u0119dzy w banku na <i>p<\/i>% po roku zwi\u0119kszamy jej warto\u015b\u0107 i tak dla zainwestowanej 1 z\u0142ot\u00f3wki mamy $\\left( 1+ \\frac{p}{100} \\right)$ z\u0142otych. Po <i>n<\/i> latach wzrasta do $\\left( 1+ \\frac{p}{100} \\right)^n $ z\u0142otych. Mieli\u015bmy szcz\u0119\u015bcie i bankier zaproponowa\u0142 nam ogromn\u0105 stop\u0119 procentow\u0105, sto procent. Zainwestowali\u015bmy wi\u0119c wszystkie nasze oszcz\u0119dno\u015bci, oznaczmy je przez <i>x<\/i>. Po roku b\u0119dziemy bogatsi, podwoimy nasz wk\u0142ad, otrzymamy 2<i>x<\/i>. Jest jednak mo\u017cliwo\u015b\u0107 otrzymania swoich odsetek w dowolnym czasie i ponowne ich zainwestowanie. Je\u015bli odbierzemy odsetki po sze\u015bciu miesi\u0105cach i ponownie je zainwestujemy, to po roku otrzymamy <i>x<\/i>(1 + 1\/2)<sup>2<\/sup> = 2,25<i>x<\/i>. Odbieraj\u0105c odsetki kwartalnie jeszcze bardziej zwi\u0119kszamy nasz zysk, po roku mieliby\u015bmy <i>x<\/i>(1 + 1\/4)<sup>4<\/sup> = 2,441<i>x<\/i>. Miesi\u0119czne pobieranie odsetek i ponowne inwestowanie wzbogaca nas jeszcze bardziej: <i>x<\/i>(1 + 1\/12)<sup>12<\/sup> = 2,5996<i>x<\/i>. Potem codziennie &#8211; znowu wi\u0119cej, co minut\u0119, sekund\u0119 &#8211; jeszcze wi\u0119cej, jeszcze troch\u0119 i b\u0119dziemy bogaci. Nic z tego, nasze procenty sk\u0142adane mog\u0105 si\u0119 mno\u017cy\u0107, ale przy ko\u0144cu otrzymamy dok\u0142adnie warto\u015b\u0107 liczby <i>e<\/i> czyli oko\u0142o 2,7182<i>x<\/i>.<\/p>\n<p>Funkcj\u0119 wyk\u0142adnicz\u0105 mo\u017cna odnale\u017a\u0107 w przyrodzie i w spo\u0142ecze\u0144stwie, gdzie odwzorowuje rozw\u00f3j ro\u015bliny, rozw\u00f3j danej populacji. Og\u00f3lnie je\u015bli stopie\u0144 rozwoju jest proporcjonalny do stanu rozwoju, to mamy do czynienia z funkcj\u0105 wyk\u0142adnicz\u0105.<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>\u017ar\u00f3d\u0142o: <a href=\"http:\/\/www.math.edu.pl\/liczba-i\" target=\"_blank\">Math.edu.pl<\/a><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p class=\"excerpt\">Liczba e pojawi\u0142a si\u0119 w matematyce w zupe\u0142nie innych okoliczno\u015bciach ani\u017celi bardziej znana liczba pi. W staro\u017cytno\u015bci nie znano jej, pojawi\u0142a si\u0119 dopiero w XVI wieku za spraw\u0105 szkockiego matematyka Johna Napiera (Nepera), kt\u00f3ry u\u0142o\u017cy\u0142 tablice logarytm\u00f3w, bardzo pomocne przy skomplikowanych obliczeniach astronomicznych. Logarytmy bowiem wymy\u015blono, aby zamieni\u0107 mno\u017cenie na dodawanie. Przez setki lat, cudowna&hellip;<\/p>\n<p class=\"more-link-p\"><a class=\"more-link\" href=\"http:\/\/u239160.webh.me\/jakisproblem.pl\/index.php\/2016\/08\/10\/liczba-e\/\">Read more &rarr;<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[1],"tags":[11],"class_list":["post-1491","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-bez-kategorii","tag-matematyka"],"_links":{"self":[{"href":"http:\/\/u239160.webh.me\/jakisproblem.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1491","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"http:\/\/u239160.webh.me\/jakisproblem.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"http:\/\/u239160.webh.me\/jakisproblem.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/u239160.webh.me\/jakisproblem.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/u239160.webh.me\/jakisproblem.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=1491"}],"version-history":[{"count":0,"href":"http:\/\/u239160.webh.me\/jakisproblem.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1491\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"http:\/\/u239160.webh.me\/jakisproblem.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=1491"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"http:\/\/u239160.webh.me\/jakisproblem.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=1491"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"http:\/\/u239160.webh.me\/jakisproblem.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=1491"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}