{"id":1476,"date":"2016-06-06T10:05:17","date_gmt":"2016-06-06T09:05:17","guid":{"rendered":"http:\/\/www.venco.com.pl\/~cozy\/blog\/?p=1476"},"modified":"2016-06-06T10:05:17","modified_gmt":"2016-06-06T09:05:17","slug":"paradoks-montyego-halla","status":"publish","type":"post","link":"http:\/\/u239160.webh.me\/jakisproblem.pl\/index.php\/2016\/06\/06\/paradoks-montyego-halla\/","title":{"rendered":"Paradoks Monty\u2019ego Halla"},"content":{"rendered":"

Tre\u015b\u0107 paradoksu<\/h2>\n

Zawodnik stoi przed trzema zas\u0142oni\u0119tymi bramkami. Za jedn\u0105 z nich (za kt\u00f3r\u0105 \u2013 wie to tylko prowadz\u0105cy program) jest nagroda (umieszczana ca\u0142kowicie losowo). Gracz wybiera jedn\u0105 z bramek. Prowadz\u0105cy program ods\u0142ania inn\u0105 bramk\u0119 (co istotne \u2013 anonsuj\u0105c, \u017ce jest to bramka pusta), po czym proponuje graczowi zmian\u0119 wyboru.
\nIntuicyjnie nie ma znaczenia, czy zawodnik pozostanie przy swoim wyborze, czy nie. Okazuje si\u0119 jednak, \u017ce jest inaczej. Przy wyborze strategii pozostawania przy swoim pierwszym wyborze prawdopodobie\u0144stwo wygranej wynosi 1\/3. Natomiast przy wyborze „strategii zmiany” wynosi 2\/3.
\nOznacza to, \u017ce zawodnikowi op\u0142aci si\u0119 zmieni\u0107 bramk\u0119, poniewa\u017c ma wtedy dwa razy wi\u0119ksze szanse na wygran\u0105. Paradoks wynika z niedocenienia informacji jak\u0105 „mi\u0119dzy wierszami” przekazuje prowadz\u0105cy. Informacj\u0105 t\u0105 jest wskazanie pustej bramki.
\nInnymi s\u0142owy poprzez otwarcie jednej z pustych bramek, prowadz\u0105cy zmniejsza liczno\u015b\u0107 zbioru „pustych bramek”, a w rezultacie prawdopodobie\u0144stwo przegranej z 2\/3 do 1\/3. „Pozosta\u0142e” prawdopodobie\u0144stwo wygranej musi wynosi\u0107 wi\u0119c obecnie 2\/3.<\/p>\n

Rozwi\u0105zania intuicyjne<\/span><\/h2>\n
\n
\n

\"\"<\/a><\/p>\n

\n
<\/div>\n

Prawdopodobie\u0144stwo trafienia nagrody wynosi 1\/3 dla ka\u017cdej bramki. Dwie bramki daj\u0105 \u0142\u0105cznie 2\/3<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n

\n
\n

\"\"<\/a><\/p>\n

\n
<\/div>\n

Je\u015bli odkryjemy jedn\u0105 bramk\u0119 bez nagrody, prawdopodobie\u0144stwo trafienia, je\u015bli zmienimy wyb\u00f3r, wynosi 2\/3 (koza symbolizuje brak nagrody)<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n

\u0141atwiej spud\u0142owa\u0107<\/span><\/h3>\n

Za\u0142\u00f3\u017cmy, \u017ce zawodnik wskazuje pierwotnie bramk\u0119, za kt\u00f3r\u0105 jest nagroda (zdarza si\u0119 to z prawdopodobie\u0144stwem 1\/3). Prowadz\u0105cy program ods\u0142oni wtedy jedn\u0105 z pozosta\u0142ych bramek i w\u00f3wczas zmiana wyboru z pewno\u015bci\u0105 doprowadzi do przegranej.<\/p>\n

Je\u017celi jednak zawodnik pocz\u0105tkowo wskazuje bramk\u0119 pust\u0105 (a dzieje si\u0119 tak z prawdopodobie\u0144stwem 2\/3), w\u00f3wczas prowadz\u0105cy program musi ods\u0142oni\u0107 drug\u0105 z dw\u00f3ch pustych bramek. Zmiana wyboru przez zawodnika w tym przypadku doprowadzi do wygranej.<\/p>\n

Paradoks polega na tym, \u017ce intuicyjnie przypisujemy r\u00f3wne szanse dw\u00f3m sytuacjom \u2013 wskazanie wygranej w jednej z dw\u00f3ch zakrytych ci\u0105gle bramek wydaje si\u0119 „r\u00f3wnie prawdopodobne” jak posiadanie bramki pustej, bo przecie\u017c „nic nie wiadomo”. Tymczasem uk\u0142ad jest warunkowany przez pocz\u0105tkowy wyb\u00f3r zawodnika i obie sytuacje nie pojawiaj\u0105 si\u0119 r\u00f3wnie cz\u0119sto.<\/p>\n

W pewnym sensie zmiana bramki zamienia miejscami prawdopodobie\u0144stwa \u2013 prawdopodobie\u0144stwo przegranej staje si\u0119 prawdopodobie\u0144stwem wygranej i odwrotnie. Przy pierwszym wyborze \u0142atwiej jest spud\u0142owa\u0107, zatem „strategia zmiany” prowadzi do \u0142atwiejszej wygranej.<\/p>\n

Za\u0142\u00f3\u017cmy, \u017ce gracz pocz\u0105tkowo wybra\u0142 bramk\u0119 numer 1. Poni\u017csza tabela prezentuje 3 r\u00f3wnie prawdopodobne mo\u017cliwo\u015bci, jakie wi\u0105\u017c\u0105 si\u0119 z takim wyborem.<\/p>\n\n\n\n\n\n\n
Bramka 1<\/th>\nBramka 2<\/th>\nBramka 3<\/th>\nwynik bez zmiany bramki<\/th>\nwynik przy zmianie bramki<\/th>\n<\/tr>\n
Nagroda<\/td>\npusta<\/td>\npusta<\/td>\nNagroda<\/b><\/td>\npusta<\/b><\/td>\n<\/tr>\n
pusta<\/td>\nNagroda<\/td>\npusta<\/td>\npusta<\/b><\/td>\nNagroda<\/b><\/td>\n<\/tr>\n
pusta<\/td>\npusta<\/td>\nNagroda<\/td>\npusta<\/b><\/td>\nNagroda<\/b><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

Wida\u0107 wyra\u017anie, \u017ce przeci\u0119tnie szanse na wygran\u0105 nagrody s\u0105 2 razy wi\u0119ksze w przypadku zmiany wyboru: gracz, kt\u00f3ry dokonuje zmiany wyboru, nic nie wygrywa tylko w jednym przypadku, za to zdobywa nagrod\u0119 w dw\u00f3ch przypadkach, a zatem prawdopodobie\u0144stwo wygranej w przypadku zmiany wynosi 2\/3.<\/p>\n

Sto bramek<\/span><\/h3>\n

Cz\u0119sto przytaczanym wyja\u015bnieniem paradoksu jest rozszerzenie zadania na wi\u0119ksz\u0105 liczb\u0119 (np. 100) bramek. W tej sytuacji po pierwotnym wyborze gracza (powiedzmy bramki numer 13) prowadz\u0105cy ods\u0142ania 98 pustych bramek zostawiaj\u0105c bramk\u0119 gracza i jeszcze jedn\u0105 (powiedzmy: numer 7).<\/p>\n

W bramce 13 nagroda znajduje si\u0119 z prawdopodobie\u0144stwem 1\/100. Prawdopodobie\u0144stwo 1\/100 jest sta\u0142e (uwaga: \u017cadne dzia\u0142ania nie maj\u0105 na nie wp\u0142ywu, przy wszystkich bramkach zas\u0142oni\u0119tych prawdopodobie\u0144stwo wynosi 1\/100, po ods\u0142oni\u0119ciu jednej bramki wynosi 1\/100 i po os\u0142oni\u0119ciu 98 bramek stale wynosi 1\/100). Zamiana na bramk\u0119 7 gwarantuje wygran\u0105 w 99 przypadkach na 100. Pozostanie przy pierwotnym wyborze jest wiar\u0105 w s\u0142uszno\u015b\u0107 swoich przeczu\u0107 bez posiadania racjonalnych dowod\u00f3w.<\/p>\n

Przy tym wyja\u015bnieniu powstaje pytanie: Dlaczego prowadz\u0105cy musi ods\u0142oni\u0107 98 bramek, a nie jedn\u0105 jak w przypadku z trzema bramkami? W przypadku trzech bramek wyb\u00f3r gracza jest zero-jedynkowy: albo pozostaj\u0119 przy wyborze, albo zmieniam. Aby sytuacja by\u0142a analogiczna gracz przy stu bramkach musi mie\u0107 tak\u017ce taki prosty wyb\u00f3r (bramka 13 czy 7). Ods\u0142oni\u0119cie jednej bramki spowodowa\u0142oby, \u017ce gracz mia\u0142by 99 wyj\u015b\u0107 z sytuacji, co jest zadaniem jako\u015bciowo r\u00f3\u017cnym.<\/p>\n

\u017ar\u00f3d\u0142o: Wikipedia<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Tre\u015b\u0107 paradoksu Zawodnik stoi przed trzema zas\u0142oni\u0119tymi bramkami. Za jedn\u0105 z nich (za kt\u00f3r\u0105 \u2013 wie to tylko prowadz\u0105cy program) jest nagroda (umieszczana ca\u0142kowicie losowo). Gracz wybiera jedn\u0105 z bramek. Prowadz\u0105cy program ods\u0142ania inn\u0105 bramk\u0119 (co istotne \u2013 anonsuj\u0105c, \u017ce jest to bramka pusta), po czym proponuje graczowi zmian\u0119 wyboru. Intuicyjnie nie ma znaczenia, czy…<\/p>\n

Read more →<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[1],"tags":[63,11],"class_list":["post-1476","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-bez-kategorii","tag-logika","tag-matematyka"],"_links":{"self":[{"href":"http:\/\/u239160.webh.me\/jakisproblem.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1476","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"http:\/\/u239160.webh.me\/jakisproblem.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"http:\/\/u239160.webh.me\/jakisproblem.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/u239160.webh.me\/jakisproblem.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/u239160.webh.me\/jakisproblem.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=1476"}],"version-history":[{"count":0,"href":"http:\/\/u239160.webh.me\/jakisproblem.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1476\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"http:\/\/u239160.webh.me\/jakisproblem.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=1476"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"http:\/\/u239160.webh.me\/jakisproblem.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=1476"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"http:\/\/u239160.webh.me\/jakisproblem.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=1476"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}