Paradoks Hilberta \u2013 paradoks opisany przez Davida Hilberta w celu ilustracji trudno\u015bci w intuicyjnym rozumieniu poj\u0119cia „ilo\u015bci” element\u00f3w zbioru z niesko\u0144czon\u0105 liczb\u0105 element\u00f3w. Paradoks ten znany jest te\u017c pod nazw\u0105 paradoksu Grand Hotelu lub paradoksu hotelu Hilberta.
\nWyobra\u017amy sobie, \u017ce jeste\u015bmy portierem w Grand Hotelu, w kt\u00f3rym jest niesko\u0144czona liczba pokoi. Wszystkie pokoje s\u0105 ju\u017c zaj\u0119te, gdy przychodzi do nas kolejny klient chc\u0105cy wynaj\u0105\u0107 pok\u00f3j. Wydawa\u0142oby si\u0119, \u017ce sytuacja jest bez wyj\u015bcia i musimy klienta odprawi\u0107 z kwitkiem. Na szcz\u0119\u015bcie nasz hotel ma niesko\u0144czon\u0105 liczb\u0119 pokoi, wi\u0119c mo\u017cemy wykona\u0107 sprytny trik: klienta z pokoju numer 1 przekwaterujemy do pokoju nr 2, tego z pokoju nr 2 do pokoju nr 3, itd. Og\u00f3lnie mo\u017cna powiedzie\u0107, \u017ce dokonujemy przekwaterowania klient\u00f3w z pokoj\u00f3w n do pokoj\u00f3w n+1. W ten spos\u00f3b wszyscy nasi wcze\u015bniejsi klienci maj\u0105 gdzie mieszka\u0107, a my mamy wolny pok\u00f3j nr 1, do kt\u00f3rego mo\u017cemy zakwaterowa\u0107 naszego nowego go\u015bcia. Tak wi\u0119c, mimo \u017ce hotel by\u0142 pe\u0142en, znalaz\u0142o si\u0119 miejsce dla nowego klienta…
\nB\u0119d\u0105c portierem w naszym niesko\u0144czonym hotelu mamy jeszcze wi\u0119cej mo\u017cliwo\u015bci. Nawet je\u015bli przyjedzie do nas niesko\u0144czona (ale przeliczalna) liczba autobus\u00f3w z niesko\u0144czon\u0105 (przeliczaln\u0105) liczb\u0105 klient\u00f3w w ka\u017cdym z nich, to nadal mo\u017cemy ich wszystkich zakwaterowa\u0107 dokonuj\u0105c kolejnego, nieco bardziej z\u0142o\u017conego triku z zamianami pokoj\u00f3w: najpierw trzeba opr\u00f3\u017cni\u0107 pokoje hotelowe z nieparzystym numerem poprzez chwilowe umieszczenie ich go\u015bci w np. autobusie nr 1. Klient\u00f3w z autobusu nr 1 umieszczamy tymczasem w pokojach z numerami 3n, gdzie n to np. numery miejsc w autobusie (wszystkie te pokoje b\u0119d\u0105 nieparzyste, czyli ju\u017c wcze\u015bniej opr\u00f3\u017cnione). Potem umieszczamy klient\u00f3w z autobusu 2 w pokojach o numerach 5n. Nast\u0119pny autobus p\u00f3jdzie do pokoj\u00f3w 7n. Og\u00f3lnie, b\u0119dziemy umieszczali klient\u00f3w kolejnych autobus\u00f3w w pokojach m(n)n, gdzie m(n) to kolejne liczby pierwsze. Pot\u0119gi liczb pierwszych wi\u0119kszych od 2 s\u0105 nieparzyste, a \u017ce zbiory kolejnych pot\u0119g liczb pierwszych s\u0105 parami roz\u0142\u0105czne, wi\u0119c nie ma ryzyka, \u017ce po\u015blemy nowych klient\u00f3w do ju\u017c zaj\u0119tych pokoj\u00f3w. Wreszcie klient\u00f3w, wcze\u015bniej wykwaterowanych z pokoj\u00f3w nieparzystych, wysy\u0142amy do pokoj\u00f3w o numerach m(n+1)n i wszyscy s\u0105 ju\u017c rozlokowani.
\nOpisany tu paradoks tak naprawd\u0119 nie jest sprzeczny z logik\u0105, lecz tylko z intuicyjnym pojmowaniem liczby element\u00f3w w zbiorach niesko\u0144czonych. Pokazuje on tylko, \u017ce moc przeliczalnych zbior\u00f3w niesko\u0144czonych jest zawsze jednakowa, nawet wtedy, gdy dany zbi\u00f3r jest podzbiorem innego zbioru. Np. zbi\u00f3r liczb nieparzystych dodatnich ma tak\u0105 sam\u0105 moc (jest r\u00f3wnoliczny) ze zbiorem liczb naturalnych, mimo \u017ce jest jego podzbiorem.<\/p>\n
\u017ar\u00f3d\u0142o: Wikipedia<\/p>\n
Dlaczego nie mo\u017cemy nowego go\u015bcia od razu zakwaterowa\u0107 w pokoju n+1?<\/p>\n
Nie wiemy gdzie jest n. Nie mo\u017cna wskaza\u0107 ostatniego pokoju, bo nie ma ostatniego pokoju. Gdyby by\u0142 to by ich nie by\u0142o niesko\u0144czenie wiele.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
Paradoks Hilberta \u2013 paradoks opisany przez Davida Hilberta w celu ilustracji trudno\u015bci w intuicyjnym rozumieniu poj\u0119cia „ilo\u015bci” element\u00f3w zbioru z niesko\u0144czon\u0105 liczb\u0105 element\u00f3w. Paradoks ten znany jest te\u017c pod nazw\u0105 paradoksu Grand Hotelu lub paradoksu hotelu Hilberta. Wyobra\u017amy sobie, \u017ce jeste\u015bmy portierem w Grand Hotelu, w kt\u00f3rym jest niesko\u0144czona liczba pokoi. Wszystkie pokoje s\u0105 ju\u017c…<\/p>\n