{"id":1257,"date":"2015-10-12T17:06:22","date_gmt":"2015-10-12T16:06:22","guid":{"rendered":"http:\/\/www.venco.com.pl\/~cozy\/blog\/?p=1257"},"modified":"2015-10-12T17:06:22","modified_gmt":"2015-10-12T16:06:22","slug":"rachunek-predykatow-przyklad-teorii-w-rachunku-predykatow","status":"publish","type":"post","link":"http:\/\/u239160.webh.me\/jakisproblem.pl\/index.php\/2015\/10\/12\/rachunek-predykatow-przyklad-teorii-w-rachunku-predykatow\/","title":{"rendered":"Rachunek predykat\u00f3w, przyk\u0142ad teorii w rachunku predykat\u00f3w"},"content":{"rendered":"
Je\u015bli\u00a0<\/span>\"\\textnormal{n}\"\u00a0<\/span>jest liczb\u0105 pierwsz\u0105 to\u00a0<\/span>\"\\textnormal{n}\"\u00a0<\/span>jest liczb\u0105 nieparzyst\u0105 lub\u00a0<\/span>\"\\textnormal{n}\"\u00a0<\/span>jest r\u00f3wne\u00a0<\/span>2<\/b>.<\/div>\n

Opisali\u015bmy je wtedy formu\u0142\u0105<\/p>\n

\"p<\/div>\n

w kt\u00f3rej\u00a0<\/span>\"p,q,r\"\u00a0<\/span>odpowiada\u0142y odpowiednio zdaniom<\/p>\n

    1.\u00a0<\/span>\"\\textnormal{n}\"\u00a0<\/span>jest liczb\u0105 pierwsz\u0105,
    \n2.\u00a0<\/span>\"\\textnormal{n}\"\u00a0<\/span>jest liczb\u0105 nieparzyst\u0105,
    \n3.\u00a0<\/span>\"\\textnormal{n}\"\u00a0<\/span>jest r\u00f3wne\u00a0<\/span>2<\/b>.<\/ol>\n

    Podstawiaj\u0105c zamiast zdania\u00a0<\/span>\"\\textnormal{n}\"\u00a0<\/span>jest liczb\u0105 pierwsz\u0105<\/i>\u00a0<\/span>zmienn\u0105 zdaniow\u0105\u00a0<\/span>\"\\textnormal{p}\"\u00a0<\/span>ukrywamy jednak cz\u0119\u015b\u0107 informacji. Zdanie to m\u00f3wi przecie\u017c o pewnej liczbie\u00a0<\/span>\"\\textnormal{n}\", co wi\u0119cej zdania\u00a0<\/span>\"{p,q}\"\u00a0<\/span>i\u00a0<\/span>\"\\textnormal{r}\"\u00a0<\/span>dotycz\u0105 tej samej liczby\u00a0<\/span>\"\\textnormal{n}\". Zapiszmy wi\u0119c\u00a0<\/span>\"p(n)\"\u00a0<\/span>zamiast\u00a0<\/span>\"{p}\"\u00a0<\/span>aby podkre\u015bli\u0107 fakt \u017ce prawdziwo\u015b\u0107\u00a0<\/span>\"{p}\"\u00a0<\/span>zale\u017cy od tego jak\u0105 konkretn\u0105 warto\u015b\u0107 przypiszemy zmiennej\u00a0<\/span>\"\\textnormal{n}\". Zdanie\u00a0<\/span>\"p(n)\"\u00a0<\/span>b\u0119dzie prawdziwe je\u015bli za\u00a0<\/span>\"\\textnormal{n}\"\u00a0<\/span>podstawimy jak\u0105\u015b liczb\u0119 pierwsz\u0105 i fa\u0142szywe w przeciwnym przypadku. Zgodnie z t\u0105 konwencj\u0105 nasze zdanie przyjmie posta\u0107<\/p>\n

    \"p(n)<\/div>\n

    Zwr\u00f3\u0107my uwag\u0119 jednak, \u017ce trudno oceni\u0107 prawdziwo\u015b\u0107 zdania\u00a0<\/span>\"\\textnormal{p}\"\u00a0<\/span>dop\u00f3ki nie podstawimy w miejsce\u00a0<\/span>\"\\textnormal{n}\"\u00a0<\/span>jakiej\u015b konkretnej liczby. Z drugiej strony jednak zdanie jak\u0105kolwiek liczb\u0119 nie postawimy w miejsce\u00a0<\/span>\"\\textnormal{n}\"\u00a0<\/span>zdanie b\u0119dzie prawdziwe. Mo\u017cemy wi\u0119c przeformu\u0142owa\u0107 je jako<\/p>\n

    Dla ka\u017cdej liczby naturalnej\u00a0<\/span>\"\\textnormal{n}\", je\u015bli\u00a0<\/span>\"\\textnormal{n}\"\u00a0<\/span>jest liczb\u0105 pierwsz\u0105 to\u00a0<\/span>\"\\textnormal{n}\"\u00a0<\/span>jest liczb\u0105 nieparzyst\u0105 lub\u00a0<\/span>\"\\textnormal{n}\"\u00a0<\/span>jest r\u00f3wne\u00a0<\/span>2<\/b>.<\/p>\n

    Aby m\u00f3c formalnie zapisywa\u0107 zdania takie jak powy\u017csze wprowadzimy kwantyfikator\u00a0<\/span>\"\\forall\"\u00a0<\/span>kt\u00f3ry b\u0119dzie oznacza\u0142 ,,dla ka\u017cdego” oraz\u00a0<\/span>\"\\exists\"\u00a0<\/span>kt\u00f3ry b\u0119dzie oznacza\u0142 ,,istnieje”. Ka\u017cde wyst\u0105pienie kwantyfikatora b\u0119dzie dotyczy\u0142o pewnej zmiennej. W naszym przyk\u0142adzie napiszemy<\/p>\n

    \"\\forall_n<\/div>\n

    Mo\u017cemy teraz powiedzie\u0107, \u017ce powy\u017csza formu\u0142a jest prawdziwa w zbiorze liczb naturalnych, gdzie\u00a0<\/span>\"p(n),q(n),r(n)\"\u00a0<\/span>b\u0119d\u0105 oznacza\u0107 odpowiednio\u00a0<\/span>\"\\textnormal{n}\"\u00a0<\/span>jest liczb\u0105 pierwsz\u0105,\u00a0<\/span>\"\\textnormal{n}\"\u00a0<\/span>jest liczb\u0105 nieparzyst\u0105,\u00a0<\/span>\"\\textnormal{n}\"\u00a0<\/span>jest r\u00f3wne\u00a0<\/span>2<\/b>.<\/p>\n

    Przy tej samej interpretacji\u00a0<\/span>\"p(n),q(n)\"\u00a0<\/span>mogliby\u015bmy wyrazi\u0107 zdanie<\/p>\n

    Istnieje parzysta liczba pierwsza.<\/div>\n

    jako<\/p>\n

    \"\\exists_n<\/div>\n
    <\/div>\n
    \n

    Kwantyfikatory ograniczone<\/h3>\n

    Kwantyfikatory ograniczone s\u0105 skr\u00f3tami kt\u00f3re definujemy nast\u0119puj\u0105co<\/p>\n

    \n
    1.\u00a0<\/span>\"\\forall_{x:\\phi}<\/dd>\n<\/dl>\n
    \n
    2.\u00a0<\/span>\"\\exists_{x:\\phi}<\/dd>\n<\/dl>\n

    i czytamy<\/p>\n

    \n
    1. dla ka\u017cdego\u00a0<\/span>\"\\textnormal{x}\"\u00a0<\/span>kt\u00f3re spe\u0142nia\u00a0<\/span>\"{\\phi}\"\u00a0<\/span>spe\u0142nione jest\u00a0<\/span>\"{\\psi}\"<\/dd>\n<\/dl>\n
    \n
    2. istnieje\u00a0<\/span>\"\\textnormal{x}\"\u00a0<\/span>spe\u0142niaj\u0105ce\u00a0<\/span>\"{\\phi}\"\u00a0<\/span>kt\u00f3re spe\u0142nia\u00a0<\/span>\"{\\psi}\"<\/dd>\n<\/dl>\n

    Zgodnie z t\u0105 konwencj\u0105 formu\u0142\u0119 1.1 mo\u017cemy zapisa\u0107 nast\u0119puj\u0105co<\/p>\n

    \"\\forall_{n:p(n)}<\/div>\n

    Podobnie formu\u0142\u0119 1.2 zapiszemy jako<\/p>\n

    \"\\exists_{n:p(n)}\\neg<\/div>\n<\/div>\n
    <\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

    Je\u015bli\u00a0\u00a0jest liczb\u0105 pierwsz\u0105 to\u00a0\u00a0jest liczb\u0105 nieparzyst\u0105 lub\u00a0\u00a0jest r\u00f3wne\u00a02. Opisali\u015bmy je wtedy formu\u0142\u0105 w kt\u00f3rej\u00a0\u00a0odpowiada\u0142y odpowiednio zdaniom 1.\u00a0\u00a0jest liczb\u0105 pierwsz\u0105, 2.\u00a0\u00a0jest liczb\u0105 nieparzyst\u0105, 3.\u00a0\u00a0jest r\u00f3wne\u00a02. Podstawiaj\u0105c zamiast zdania\u00a0\u00a0jest liczb\u0105 pierwsz\u0105\u00a0zmienn\u0105 zdaniow\u0105\u00a0\u00a0ukrywamy jednak cz\u0119\u015b\u0107 informacji. Zdanie to m\u00f3wi przecie\u017c o pewnej liczbie\u00a0, co wi\u0119cej zdania\u00a0\u00a0i\u00a0\u00a0dotycz\u0105 tej samej liczby\u00a0. Zapiszmy wi\u0119c\u00a0\u00a0zamiast\u00a0\u00a0aby podkre\u015bli\u0107 fakt \u017ce prawdziwo\u015b\u0107\u00a0\u00a0zale\u017cy od tego jak\u0105…<\/p>\n

    Read more →<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[1],"tags":[63,68],"class_list":["post-1257","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-bez-kategorii","tag-logika","tag-teoria-mnogosci"],"_links":{"self":[{"href":"http:\/\/u239160.webh.me\/jakisproblem.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1257","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"http:\/\/u239160.webh.me\/jakisproblem.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"http:\/\/u239160.webh.me\/jakisproblem.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/u239160.webh.me\/jakisproblem.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/u239160.webh.me\/jakisproblem.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=1257"}],"version-history":[{"count":0,"href":"http:\/\/u239160.webh.me\/jakisproblem.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1257\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"http:\/\/u239160.webh.me\/jakisproblem.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=1257"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"http:\/\/u239160.webh.me\/jakisproblem.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=1257"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"http:\/\/u239160.webh.me\/jakisproblem.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=1257"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}