{"id":1253,"date":"2015-10-12T15:16:35","date_gmt":"2015-10-12T14:16:35","guid":{"rendered":"http:\/\/www.venco.com.pl\/~cozy\/blog\/?p=1253"},"modified":"2015-10-12T15:16:35","modified_gmt":"2015-10-12T14:16:35","slug":"pochodna-w-zadaniach-z-trescia","status":"publish","type":"post","link":"http:\/\/u239160.webh.me\/jakisproblem.pl\/index.php\/2015\/10\/12\/pochodna-w-zadaniach-z-trescia\/","title":{"rendered":"Pochodna w zadaniach z tre\u015bci\u0105"},"content":{"rendered":"

\"Teoria\" Bardzo ciekawe zastosowanie pochodnej zwi\u0105zane jest z zagadnieniami geometrii, ekonomii, fizyki i innych dziedzin, gdy szukamy najbardziej optymalnych rozwi\u0105za\u0144 w zale\u017cno\u015bci od r\u00f3\u017cnego rodzaju parametr\u00f3w (gdy na przyk\u0142ad chcemy znale\u017a\u0107 pole najwi\u0119ksze pole powierzchni figury w zale\u017cno\u015bci od r\u00f3\u017cnych d\u0142ugo\u015bci jej wymiar\u00f3w, lub optymalne koszty w zale\u017cno\u015bci od innych parametr\u00f3w.) W takim przypadku korzystamy z wiedzy jak\u0105 zdobyli\u015bmy podczas wyznaczania najwi\u0119kszej i najmniejszej warto\u015bci funkcji<\/a> oczywi\u015bcie z wykorzystaniem ekstremum funkcji<\/a> i jej pochodnej<\/a>.<\/p>\n

Podstawow\u0105 trudno\u015bci\u0105 podczas rozwi\u0105zywania tego typu problem\u00f3w jest znalezienie funkcji<\/a> zale\u017cno\u015bci mi\u0119dzy szukan\u0105 warto\u015bci\u0105 a parametrami tak, aby by\u0142a to funkcja jednej zmiennej<\/b>. Potem post\u0119pujemy ju\u017c tak, jak przy zwyk\u0142ym wyznaczaniu najwi\u0119kszej lub najmniejszej warto\u015bci funkcji. Zilustrujmy to przyk\u0142adem:<\/p>\n

\"Przyk\u0142ad\" Przyk\u0142ad<\/strong><\/p>\n

Kt\u00f3ry z tr\u00f3jk\u0105t\u00f3w r\u00f3wnoramiennych o obwodzie r\u00f3wnym S=4 ma najwi\u0119ksze pole powierzchni?<\/p>\n

\"wykres\"<\/p>\n

Wprowadzamy oznaczenia:<\/p>\n

P – pole powierzchni,
\nh – wysoko\u015b\u0107 tr\u00f3jk\u0105ta<\/a>,
\na – podstawa tr\u00f3jk\u0105ta,
\nb – d\u0142ugo\u015b\u0107 ramion tr\u00f3jk\u0105ta,
\nS=4 – obw\u00f3d tr\u00f3jk\u0105ta.<\/p>\n

Szukamy najwi\u0119kszego pola powierzchni, kt\u00f3re w przypadku tr\u00f3jk\u0105ta wyra\u017ca si\u0119 wzorem:<\/p>\n

\"P=\\frac{1}{2}ah\".<\/p>\n

Nie mo\u017cemy skorzysta\u0107 jeszcze z wiadomo\u015bci o ekstremum funkcji, poniewa\u017c powy\u017cszy wz\u00f3r si\u0119 do tego nie nadaje. Mamy bowiem pole powierzchni P uzale\u017cnione od zmiennej a<\/i> o9raz h<\/i>. Skorzystajmy zatem z tego, \u017ce dany jest obw\u00f3d tr\u00f3jk\u0105ta:<\/p>\n

\"S=4=2b+a\"<\/p>\n

St\u0105d mo\u017cemy a wyrazi\u0107 poprzez inn\u0105 zmienn\u0105 (b\u0119dzie wygodniej):<\/p>\n

\"a=4-2b\"<\/p>\n

Na podstawie twierdzenia Pitagorasa mo\u017cemy napisa\u0107:<\/p>\n

\"h^2+(\\frac{1}{2}a)^2=b^2\\\\<\/p>\n

a<\/i> wyznaczyli\u015bmy nieco wcze\u015bniej, wi\u0119c wstawiamy do powy\u017cszego wzoru:<\/p>\n

\"h^2=b^2-\\frac{1}{4}(4-2b)^2=b^2-\\frac{1}{4}(16-16b+4b^2)=b^2-4+4b-b^2=4b-4=4(b-1)\\\\<\/p>\n

Wstawiamy wyliczon\u0105 warto\u015b\u0107 a<\/i> oraz h<\/i> do wzoru na pole tr\u00f3jk\u0105ta:<\/p>\n

\"P=\\frac{1}{2}ah=\\frac{1}{2}(4-2b)\\cdot<\/p>\n

Poniewa\u017c pole powierzchni tr\u00f3jk\u0105ta jest teraz funkcj\u0105 jednej zmiennej, mo\u017cemy szuka\u0107 ekstremum funkcji. Szukamy go w miejscach, w kt\u00f3rych pochodna jest r\u00f3wna zeru. Obliczamy wi\u0119c pochodn\u0105 funkcji P(b) – jest to pochodna iloczynu funkcji:<\/p>\n

\"P'=[(4-2b)\\sqrt{b-1}]'=(4-2b)'\\sqrt{b-1}+(4-2b)(\\sqrt{b-1})'=-2\\sqrt{b-1}+(4-2b)\\cdot<\/p>\n

Szukamy ekstremum w punkcie, w kt\u00f3rym pochodna jest r\u00f3wna zeru:<\/p>\n

\"P'=0\\Leftrightarrow<\/p>\n

U\u0142amek jest r\u00f3wny zeru, gdy licznik jest zerem.<\/p>\n

\"4-3b=0\\\\<\/p>\n

Gdy b=4\/3 pole powierzchni osi\u0105ga maksimum lub minimum. Zauwa\u017camy, \u017ce dla b<\/i> mniejszych od 4\/3 pochodna przyjmuje dodatnie warto\u015bci, natomiast dla pozosta\u0142ych – warto\u015bci ujemne. Pochodna przechodzi wi\u0119c przez punkt 4\/3 ze znaku dodatniego w ujemny – osi\u0105ga wi\u0119c w tym punkcie maksimum<\/b>.<\/p>\n

Obliczmy jeszcze d\u0142ugo\u015b\u0107 podstawy a<\/i>:<\/p>\n

\"a=4-2b=4-2\\cdot<\/p>\n

oraz pole P:<\/p>\n

\"P=(4-3b)\\sqrt{b-1}=(4-2\\cdot<\/p>\n

Odpowied\u017a:<\/strong> Pole tr\u00f3jk\u0105ta o obwodzie S=4 jest najwi\u0119ksze, gdy wszystkie jego boki s\u0105 r\u00f3wne i maj\u0105 d\u0142ugo\u015b\u0107 4\/3<\/p>\n

Zadanie 507 – zastosowanie pochodnej funkcji w zadaniu z tre\u015bci\u0105<\/h1>\n

 <\/p>\n

Jakie wymiary powinna mie\u0107 metalowa puszka w kszta\u0142cie walca, aby przy okre\u015blonej pojemno\u015bci V zu\u017cy\u0107 mo\u017cliwie najmniej blachy do jej wykonania?<\/div>\n

 <\/p>\n

\n

\"ksi\u0105zki\" Rozwi\u0105zanie zadania uproszczone<\/h2>\n

\"walec\"\"V=\\pi<\/p>\n

\"ksi\u0105zki\" Rozwi\u0105zanie zadania ze szczeg\u00f3\u0142owymi wyja\u015bnieniami<\/h2>\n

Rysunek przedstawia kszta\u0142t puszki. Wprowadzamy oznaczenia: \"walec\"
\nh – wysoko\u015b\u0107 puszki (walca)
\nr – promie\u0144 podstawy puszki (ko\u0142a)
\nV – obj\u0119to\u015b\u0107 walca (pojemno\u015b\u0107 puszki)
\nS – pole powierzchni walca (ilo\u015b\u0107 zu\u017cytej blachy)<\/p>\n

Korzystamy ze wzoru na pole powierzchni walca:<\/p>\n

\"S=2\\pi<\/div>\n

Je\u015bli go nie pami\u0119tasz, \u0142atwo go mo\u017cna sobie wyprowadzi\u0107. Pole powierzchni walca jest r\u00f3wne polu obu podstaw (dwa razy pole ko\u0142a) oraz polu powierzchni \u015bciany bocznej (prostok\u0105t o bokach d\u0142ugo\u015b\u0107 r\u00f3wnych wysoko\u015bci walca oraz obwodowi ko\u0142a, stanowi\u0105cego podstaw\u0119 walca).<\/p>\n

Mamy funkcj\u0119 dw\u00f3ch zmiennych (r i h). Skorzystajmy wi\u0119c z danego w zadaniu V, czyli wzoru na obj\u0119to\u015b\u0107 walca (pole podstawy razy wysoko\u015b\u0107):<\/p>\n

\"V=\\pi<\/div>\n

Z drugiego r\u00f3wnania wyznaczymy h<\/i> w wstawimy do wzoru na pole powierzchni.<\/p>\n

\"V=\\pi\"t\u0142o\"\"t\u0142o\"<\/div>\n

Mamy do czynienia z funkcj\u0105 jednej zmiennej r<\/i> (V<\/i> jest dan\u0105 liczb\u0105). Szukamy minimum (ekstremum) w punktach w kt\u00f3rych pochodna przyjmuje warto\u015b\u0107 zero. Obliczamy wi\u0119c pochodn\u0105 funkcji S(r)<\/i> (wzgl\u0119dem zmiennej r<\/i>)<\/p>\n

\"S=2\\pi<\/div>\n

Pochodna jest r\u00f3wna zeru:<\/p>\n

\"S'=0\\\\<\/div>\n

U\u0142amek jest r\u00f3wny zeru, gdy jego licznik jest r\u00f3wny zero.<\/p>\n

\"4\\pi<\/div>\n

W tym punkcie mamy ekstremum o ile pochodna zmienia znak. Zbadajmy znak pochodnej:<\/p>\n

\"S'>0\\\\<\/div>\n

W mianowniku u\u0142amka jest kwadrat liczby (jest dodatni), wi\u0119c licznik r\u00f3wnie\u017c musi by\u0107 dodatni:<\/p>\n

\"4\\pi<\/div>\n

Skorzystamy ze wzoru skr\u00f3conego mno\u017cenia:<\/p>\n

\"a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\"<\/div>\n

Mamy wi\u0119c:<\/p>\n

\"(r-\\sqrt[3]{\\frac{2V}{4\\pi}})(r^2+2r\\sqrt[3]{\\frac{2V}{4\\pi}}+(\\sqrt[3]{\\frac{2V}{4\\pi}})^2)>0\"<\/div>\n

Drugi cz\u0142on jest dodatni (mamy sum\u0119 dodatnich czynnik\u00f3w), a iloczyn dw\u00f3ch liczb jest dodatni, gdy obie liczby s\u0105 dodatnie lub ujemne (ten przypadek tutaj nie wyst\u0119puje). Mo\u017cemy wi\u0119c napisa\u0107, \u017ce:<\/p>\n

\"r-\\sqrt[3]{\\frac{2V}{4\\pi}}>0\\\\<\/div>\n

Analogicznie mo\u017cemy napisa\u0107, \u017ce:<\/p>\n

\"S'<0<\/div>\n

Zatem w punkcie \"r=\\sqrt[3]{\\frac{2V}{4\\pi}}\" pochodna przechodzi ze znaku ujemnego w dodatni – funkcja S(r)<\/i> osi\u0105ga minimum<\/b><\/p>\n

\"r_{min}=\\sqrt[3]{\\frac{2V}{4\\pi}}\"<\/div>\n

Musimy jeszcze znale\u017a\u0107 wymiar h<\/i>:<\/p>\n

\"h_{min}=\\frac{V}{\\pi<\/div>\n

Zatem na wykonanie puszki zu\u017cyjemy najmniej blachy, je\u017celi \u015brednica (2 razy promie\u0144) podstawy b\u0119dzie r\u00f3wna wysoko\u015bci puszki.<\/p>\n

\"ksi\u0105zki\" Odpowied\u017a<\/h2>\n
Puszka powinna mie\u0107 wymiary \"r_{min}=\\sqrt[3]{\\frac{2V}{4\\pi}},<\/div>\n<\/div>\n
<\/div>\n
\n

Zadanie 506 – zadanie z tre\u015bci\u0105 – zastosowanie pochodnej<\/h1>\n

 <\/p>\n

Rzucony kamie\u0144 zakre\u015bla w powietrzu tor opisany r\u00f3wnaniem \"y=x-x^2\". Jakie jest maksymalne wzniesienia kamienia?<\/div>\n

 <\/p>\n

\n

\"ksi\u0105zki\" Rozwi\u0105zanie zadania uproszczone<\/h2>\n

\"y'=1-2x\\\\<\/p>\n

\"ksi\u0105zki\" Rozwi\u0105zanie zadania ze szczeg\u00f3\u0142owymi wyja\u015bnieniami<\/h2>\n

Mamy ju\u017c u\u0142atwione zadanie, gdy\u017c podane jest gotowe r\u00f3wnanie jednej zmiennej. Szukamy maksymalnego wzniesienia kamienia, czyli maksymaln\u0105 warto\u015b\u0107 zmiennej y<\/i>. Szukamy wi\u0119c ekstremum funkcji<\/a> y=f(x)<\/i>. W tym celu obliczamy pochodn\u0105:<\/p>\n

\"y'=(x-x^2)'=1-2x\"<\/div>\n

Szukamy ekstremum funkcji w punkcie, w kt\u00f3rym pochodna jest r\u00f3wna zeru:<\/p>\n

\"y'=0\\\\<\/div>\n

W tym punkcie funkcja osi\u0105ga ekstremum, o ile zmienia w tym punkcie znak z ujemnego na dodatni lub z dodatniego na ujemny. Jak wida\u0107 dla warto\u015bci mniejszych od 1\/2 pochodna funkcji y’=1-2x<\/i> przyjmuje dodatnie warto\u015bci, a dla x<\/i> wi\u0119kszych od 1\/2 pochodna jest ujemna. Zatem funkcja osi\u0105ga w tym miejscu maksimum. Obliczmy warto\u015b\u0107 funkcji w tym punkcie:<\/p>\n

\"f(\\frac{1}{2})=\\frac{1}{2}-(\\frac{1}{2})^2=\\frac{1}{2}-\\frac{1}{4}=\\frac{2}{4}-\\frac{1}{4}=\\frac{1}{4}\"<\/div>\n

\"ksi\u0105zki\" Odpowied\u017a<\/h2>\n
Maksymalne wzniesienie kamienia wynosi 1\/4<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Bardzo ciekawe zastosowanie pochodnej zwi\u0105zane jest z zagadnieniami geometrii, ekonomii, fizyki i innych dziedzin, gdy szukamy najbardziej optymalnych rozwi\u0105za\u0144 w zale\u017cno\u015bci od r\u00f3\u017cnego rodzaju parametr\u00f3w (gdy na przyk\u0142ad chcemy znale\u017a\u0107 pole najwi\u0119ksze pole powierzchni figury w zale\u017cno\u015bci od r\u00f3\u017cnych d\u0142ugo\u015bci jej wymiar\u00f3w, lub optymalne koszty w zale\u017cno\u015bci od innych parametr\u00f3w.) W takim przypadku korzystamy z…<\/p>\n

Read more →<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[1],"tags":[11],"class_list":["post-1253","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-bez-kategorii","tag-matematyka"],"_links":{"self":[{"href":"http:\/\/u239160.webh.me\/jakisproblem.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1253","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"http:\/\/u239160.webh.me\/jakisproblem.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"http:\/\/u239160.webh.me\/jakisproblem.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/u239160.webh.me\/jakisproblem.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/u239160.webh.me\/jakisproblem.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=1253"}],"version-history":[{"count":0,"href":"http:\/\/u239160.webh.me\/jakisproblem.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1253\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"http:\/\/u239160.webh.me\/jakisproblem.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=1253"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"http:\/\/u239160.webh.me\/jakisproblem.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=1253"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"http:\/\/u239160.webh.me\/jakisproblem.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=1253"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}