{"id":1249,"date":"2015-10-12T15:05:53","date_gmt":"2015-10-12T14:05:53","guid":{"rendered":"http:\/\/www.venco.com.pl\/~cozy\/blog\/?p=1249"},"modified":"2015-10-12T15:05:53","modified_gmt":"2015-10-12T14:05:53","slug":"pochodna-a-monotonicznosc-funkcji","status":"publish","type":"post","link":"http:\/\/u239160.webh.me\/jakisproblem.pl\/index.php\/2015\/10\/12\/pochodna-a-monotonicznosc-funkcji\/","title":{"rendered":"Pochodna a monotoniczno\u015b\u0107 funkcji"},"content":{"rendered":"<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.medianauka.pl\/grafika\/teoria-ikona.gif\" alt=\"Teoria\" width=\"40\" height=\"30\" \/> Istnieje zwi\u0105zek pomi\u0119dzy <a href=\"http:\/\/www.medianauka.pl\/pochodna\">pochodn\u0105<\/a> funkcji a jej <a href=\"http:\/\/www.medianauka.pl\/monotonicznosc\">monotoniczno\u015bci\u0105<\/a>. Okre\u015blaj\u0105 je twierdzenia:<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.medianauka.pl\/grafika\/twierdzenie-ikona.gif\" alt=\"Twierdzenie\" width=\"40\" height=\"30\" \/> <strong>Twierdzenie<\/strong><\/p>\n<p>Je\u017celi <a href=\"http:\/\/www.medianauka.pl\/funkcja\">funkcja<\/a> <i>f<\/i> jest okre\u015blona i r\u00f3\u017cniczkowalna w przedziale (a,b) oraz jej pochodna jest w ka\u017cdym punkcie tego <a href=\"http:\/\/www.medianauka.pl\/przedzialy_liczbowe\">przedzia\u0142u<\/a> <b>dodatnia<\/b> z wyj\u0105tkiem co najwy\u017cej sko\u0144czonej liczby punkt\u00f3w, w kt\u00f3rych jest r\u00f3wna zeru, to funkcja jest w tym przedziale <b>rosn\u0105ca<\/b>.<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.medianauka.pl\/grafika\/twierdzenie-ikona.gif\" alt=\"Twierdzenie\" width=\"40\" height=\"30\" \/> <strong>Twierdzenie<\/strong><\/p>\n<p>Je\u017celi funkcja <i>f<\/i> jest w przedziale (a,b) r\u00f3\u017cniczkowalna i rosn\u0105ca , to <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"wzor-top\" src=\"http:\/\/www.medianauka.pl\/matematyka\/wzory\/926\/1.gif\" alt=\"f'(x)\\geq 0, \\ dla\\ kazdego\\ x\\in(a,b)\" width=\"248\" height=\"22\" \/>.<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.medianauka.pl\/grafika\/twierdzenie-ikona.gif\" alt=\"Twierdzenie\" width=\"40\" height=\"30\" \/> <strong>Twierdzenie<\/strong><\/p>\n<p>Je\u017celi funkcja <i>f<\/i> jest okre\u015blona i r\u00f3\u017cniczkowalna w przedziale (a,b) oraz jej pochodna jest w ka\u017cdym punkcie tego przedzia\u0142u <b>ujemna<\/b> z wyj\u0105tkiem co najwy\u017cej sko\u0144czonej liczby punkt\u00f3w, w kt\u00f3rych jest r\u00f3wna zeru, to funkcja jest w tym przedziale <b>malej\u0105ca<\/b>.<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.medianauka.pl\/grafika\/twierdzenie-ikona.gif\" alt=\"Twierdzenie\" width=\"40\" height=\"30\" \/> <strong>Twierdzenie<\/strong><\/p>\n<p>Je\u017celi funkcja <i>f<\/i> jest w przedziale (a,b) r\u00f3\u017cniczkowalna i malej\u0105ca , to <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"wzor-top\" src=\"http:\/\/www.medianauka.pl\/matematyka\/wzory\/926\/2.gif\" alt=\"f'(x)\\leq 0,\\ dla\\ kazdego\\ x\\in(a,b)\" width=\"248\" height=\"22\" \/>.<\/p>\n<p>Warto zapami\u0119ta\u0107, \u017ce:<\/p>\n<div class=\"definicja skaluj\">\n<p>Je\u017celi funkcja <i>f(x)<\/i> jest r\u00f3\u017cniczkowalna w przedziale (a,b), czyli ma pochodn\u0105 w ka\u017cdym punkcie tego przedzia\u0142u oraz:<\/p>\n<p>1) <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"wzor-top\" src=\"http:\/\/www.medianauka.pl\/matematyka\/wzory\/926\/3.gif\" alt=\"\\bigwedge\\limits_{x\\in (a,b)} f'(x)=0\" width=\"112\" height=\"41\" \/>, to funkcja jest <b>sta\u0142a<\/b> w tym przedziale.<br \/>\n2) <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"wzor-top\" src=\"http:\/\/www.medianauka.pl\/matematyka\/wzory\/926\/4.gif\" alt=\"\\bigwedge\\limits_{x\\in (a,b)} f'(x)&gt;0\" width=\"104\" height=\"41\" \/>, to funkcja jest <b>rosn\u0105ca<\/b> w tym przedziale.<br \/>\n3) <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"wzor-top\" src=\"http:\/\/www.medianauka.pl\/matematyka\/wzory\/926\/5.gif\" alt=\"\\bigwedge\\limits_{x\\in (a,b)} f'(x)&lt;0\" width=\"104\" height=\"41\" \/>, to funkcja jest <b>malej\u0105ca<\/b> w tym przedziale.<\/div>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>M\u00f3wi\u0105c kr\u00f3tko, aby sprawdzi\u0107 czy funkcja jest rosn\u0105ca czy malej\u0105ca w danym przedziale nale\u017cy zbada\u0107 znak pochodnej. Zobaczmy to na przyk\u0142adzie:<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.medianauka.pl\/grafika\/ok1.gif\" alt=\"Przyk\u0142ad\" width=\"20\" height=\"20\" \/> <strong>Przyk\u0142ad<\/strong><\/p>\n<p>Wyznaczymy przedzia\u0142y monotoniczno\u015bci (czyli przedzia\u0142y w kt\u00f3rych funkcja jest rosn\u0105ca lub malej\u0105ca lub sta\u0142a) funkcji <i>f(x)=x<sup>2<\/sup><\/i><\/p>\n<p>Obliczamy pochodn\u0105 funkcji <i>f(x)<\/i>:<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.medianauka.pl\/matematyka\/wzory\/926\/6.gif\" alt=\"f'(x)=(x^2)'=2x\" width=\"144\" height=\"23\" \/><\/p>\n<p>i badamy, kiedy pochodna jest dodatnia:<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.medianauka.pl\/matematyka\/wzory\/926\/7.gif\" alt=\"f'(x)&gt;0\\Leftrightarrow 2x&gt;0 \\Leftrightarrow x&gt;0\" width=\"184\" height=\"22\" \/><\/p>\n<p>oraz badamy, kiedy pochodna jest ujemna:<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.medianauka.pl\/matematyka\/wzory\/926\/8.gif\" alt=\"f'(x)&lt;0\\Leftrightarrow 2x&lt;0 \\Leftrightarrow x&lt;0\" width=\"184\" height=\"22\" \/><\/p>\n<p>Wiemy wi\u0119c, \u017ce dla <i>x&gt;0<\/i> funkcja jest rosn\u0105ca, natomiast dla <i>x&lt;0<\/i> funkcja jest malej\u0105ca.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p class=\"excerpt\">Istnieje zwi\u0105zek pomi\u0119dzy pochodn\u0105 funkcji a jej monotoniczno\u015bci\u0105. Okre\u015blaj\u0105 je twierdzenia: Twierdzenie Je\u017celi funkcja f jest okre\u015blona i r\u00f3\u017cniczkowalna w przedziale (a,b) oraz jej pochodna jest w ka\u017cdym punkcie tego przedzia\u0142u dodatnia z wyj\u0105tkiem co najwy\u017cej sko\u0144czonej liczby punkt\u00f3w, w kt\u00f3rych jest r\u00f3wna zeru, to funkcja jest w tym przedziale rosn\u0105ca. Twierdzenie Je\u017celi funkcja f&hellip;<\/p>\n<p class=\"more-link-p\"><a class=\"more-link\" href=\"http:\/\/u239160.webh.me\/jakisproblem.pl\/index.php\/2015\/10\/12\/pochodna-a-monotonicznosc-funkcji\/\">Read more &rarr;<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[1],"tags":[11],"class_list":["post-1249","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-bez-kategorii","tag-matematyka"],"_links":{"self":[{"href":"http:\/\/u239160.webh.me\/jakisproblem.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1249","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"http:\/\/u239160.webh.me\/jakisproblem.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"http:\/\/u239160.webh.me\/jakisproblem.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/u239160.webh.me\/jakisproblem.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/u239160.webh.me\/jakisproblem.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=1249"}],"version-history":[{"count":0,"href":"http:\/\/u239160.webh.me\/jakisproblem.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1249\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"http:\/\/u239160.webh.me\/jakisproblem.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=1249"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"http:\/\/u239160.webh.me\/jakisproblem.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=1249"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"http:\/\/u239160.webh.me\/jakisproblem.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=1249"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}