{"id":1247,"date":"2015-10-12T15:05:15","date_gmt":"2015-10-12T14:05:15","guid":{"rendered":"http:\/\/www.venco.com.pl\/~cozy\/blog\/?p=1247"},"modified":"2015-10-12T15:05:15","modified_gmt":"2015-10-12T14:05:15","slug":"rozniczkowalnosc-a-ciaglosc-funkcji","status":"publish","type":"post","link":"http:\/\/u239160.webh.me\/jakisproblem.pl\/index.php\/2015\/10\/12\/rozniczkowalnosc-a-ciaglosc-funkcji\/","title":{"rendered":"R\u00f3\u017cniczkowalno\u015b\u0107 a ci\u0105g\u0142o\u015b\u0107 funkcji"},"content":{"rendered":"<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.medianauka.pl\/grafika\/twierdzenie-ikona.gif\" alt=\"Twierdzenie\" width=\"40\" height=\"30\" \/> <strong>Twierdzenie<\/strong><\/p>\n<p>Je\u017celi <a href=\"http:\/\/www.medianauka.pl\/funkcja\">funkcja<\/a> <i>f(x)<\/i> jest r\u00f3\u017cniczkowalna w punkcie <i>x<sub>0<\/sub><\/i>, to jest w tym punkcie <a href=\"http:\/\/www.medianauka.pl\/ciaglosc_funkcji\">ci\u0105g\u0142a<\/a>.<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.medianauka.pl\/grafika\/teoria-ikona.gif\" alt=\"Teoria\" width=\"40\" height=\"30\" \/> Ci\u0105g\u0142o\u015b\u0107 funkcji jest <a href=\"http:\/\/www.medianauka.pl\/warunek_konieczny_i_wystarczajacy\">warunkiem koniecznym<\/a> dla istnienia pochodnej, ale nie jest <a href=\"http:\/\/www.medianauka.pl\/warunek_konieczny_i_wystarczajacy\">warunkiem wystarczaj\u0105cym<\/a>. Twierdzenie odwrotne do powy\u017cszego nie jest prawdziwe, to znaczy, \u017ce je\u015bli funkcja jest ci\u0105g\u0142a w punkcie <i>x<sub>0<\/sub><\/i>, to nie znaczy, \u017ce jest r\u00f3\u017cniczkowalna w tym punkcie.<!--more--><\/p>\n<p>Je\u017celi funkcja nie jest ci\u0105g\u0142a w danym punkcie, to nie ma w tym punkcie pochodnej.<\/p>\n<p>To, czy funkcja jest r\u00f3\u017cniczkowalna w danym punkcie mo\u017cna pozna\u0107 tak\u017ce na podstawie jej wykresu. Funkcja nie jest r\u00f3\u017cniczkowalna w punktach, w kt\u00f3rych wykres tworzy &#8222;ostrza&#8221;. Na poni\u017cszej ilustracji pokazano wykresy funkcji, kt\u00f3re nie s\u0105 r\u00f3\u017cniczkowalne w punkcie <i>x<sub>0<\/sub><\/i>.<\/p>\n<div class=\"centruj\"><img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.medianauka.pl\/matematyka\/grafika\/wykres215.jpg\" alt=\"r\u00f3\u017cniczkowalno\u015b\u0107 a ci\u0105g\u0142o\u015b\u0107 funkcji\" \/><\/div>\n<p>Przyk\u0142adem funkcji, kt\u00f3ra w punkcie <i>x<sub>0<\/sub><\/i> jest ci\u0105g\u0142a, a nie jest r\u00f3\u017cniczkowalna (nie ma pochodnej w tym punkcie) jest funkcja <i>f(x)=|x|<\/i>.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p class=\"excerpt\">Twierdzenie Je\u017celi funkcja f(x) jest r\u00f3\u017cniczkowalna w punkcie x0, to jest w tym punkcie ci\u0105g\u0142a. Ci\u0105g\u0142o\u015b\u0107 funkcji jest warunkiem koniecznym dla istnienia pochodnej, ale nie jest warunkiem wystarczaj\u0105cym. Twierdzenie odwrotne do powy\u017cszego nie jest prawdziwe, to znaczy, \u017ce je\u015bli funkcja jest ci\u0105g\u0142a w punkcie x0, to nie znaczy, \u017ce jest r\u00f3\u017cniczkowalna w tym punkcie.<\/p>\n<p class=\"more-link-p\"><a class=\"more-link\" href=\"http:\/\/u239160.webh.me\/jakisproblem.pl\/index.php\/2015\/10\/12\/rozniczkowalnosc-a-ciaglosc-funkcji\/\">Read more &rarr;<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[1],"tags":[11],"class_list":["post-1247","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-bez-kategorii","tag-matematyka"],"_links":{"self":[{"href":"http:\/\/u239160.webh.me\/jakisproblem.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1247","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"http:\/\/u239160.webh.me\/jakisproblem.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"http:\/\/u239160.webh.me\/jakisproblem.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/u239160.webh.me\/jakisproblem.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/u239160.webh.me\/jakisproblem.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=1247"}],"version-history":[{"count":0,"href":"http:\/\/u239160.webh.me\/jakisproblem.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1247\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"http:\/\/u239160.webh.me\/jakisproblem.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=1247"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"http:\/\/u239160.webh.me\/jakisproblem.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=1247"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"http:\/\/u239160.webh.me\/jakisproblem.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=1247"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}