{"id":1245,"date":"2015-10-12T15:02:31","date_gmt":"2015-10-12T14:02:31","guid":{"rendered":"http:\/\/www.venco.com.pl\/~cozy\/blog\/?p=1245"},"modified":"2015-10-12T15:02:31","modified_gmt":"2015-10-12T14:02:31","slug":"ekstremum-funkcji","status":"publish","type":"post","link":"http:\/\/u239160.webh.me\/jakisproblem.pl\/index.php\/2015\/10\/12\/ekstremum-funkcji\/","title":{"rendered":"Ekstremum funkcji"},"content":{"rendered":"

\"Teoria\" Ekstremum funkcji<\/strong> nazywamy minimum funkcji<\/a> lub maksimum funkcji. Poni\u017cej zdefiniowano oba poj\u0119cia w oparciu o za\u0142o\u017cenie: \"x_0\\in i funkcja f<\/i> jest okre\u015blona w tym przedziale.<\/p>\n

Maksimum funkcji<\/h2>\n

\"Definicja\" Definicja<\/strong><\/p>\n

Funkcja f<\/i> osi\u0105ga w punkcie x0<\/sub><\/i> maksimum<\/strong>, je\u017celi istnieje taki przedzia\u0142<\/a> \"(m,n)\\subset(a,b)\" o \u015brodku w punkcie x0<\/sub><\/i>, w kt\u00f3rym dla ka\u017cdego \"x\\in
\nr\u00f3\u017cnego od x0<\/sub><\/i> spe\u0142niona jest nier\u00f3wno\u015b\u0107<\/a> \"f(x)<f(x_0)\"<\/p>\n

\"Przyk\u0142ad\" Przyk\u0142ad<\/strong><\/p>\n

Rysunek ilustruje wykres funkcji<\/a> f(x)=-x2<\/sup>+1<\/i>.<\/p>\n

\"Maksimum<\/p>\n

Widzimy, \u017ce funkcja ma jedno maksimum w punkcie x0<\/sub>=0<\/i> r\u00f3wne 1.
\nPrzedzia\u0142 (m,n)<\/i>, o kt\u00f3rym mowa w definicji<\/a> to mo\u017ce by\u0107 dla przyk\u0142adu przedzia\u0142 (-1,1), albo (-100,100) lub (-5,5). Widzimy, \u017ce dla dowolnej liczby r\u00f3\u017cnej od x0<\/sub><\/i> z tych przyk\u0142adowych przedzia\u0142\u00f3w wszystkie warto\u015bci funkcji s\u0105 mniejsze od maksimum, czyli warto\u015bci funkcji w punkcie x0<\/sub>=0<\/i>.<\/p>\n

Minimum funkcji<\/h2>\n

\"Definicja\" Definicja<\/strong><\/p>\n

Funkcja f<\/i> osi\u0105ga w punkcie x0<\/sub><\/i> minimum<\/strong>, je\u017celi istnieje taki przedzia\u0142 \"(m,n)\\subset(a,b)\" o \u015brodku w punkcie x0<\/sub><\/i>, w kt\u00f3rym dla ka\u017cdego \"x\\in
\nr\u00f3\u017cnego od x0<\/sub><\/i> spe\u0142niona jest nier\u00f3wno\u015b\u0107 \"f(x)>f(x_0)\"<\/p>\n

\"Przyk\u0142ad\" Przyk\u0142ad<\/strong><\/p>\n

Rysunek ilustruje wykres funkcji f(x)=x2<\/sup>+1<\/i>.<\/p>\n

\"Minimum<\/p>\n

Widzimy, \u017ce funkcja ma jedno minimum w punkcie x0<\/sub>=0<\/i> r\u00f3wne 1.
\nPrzedzia\u0142 (m,n)<\/i>, o kt\u00f3rym mowa w definicja to mo\u017ce by\u0107 dla przyk\u0142adu przedzia\u0142 (-1,1), albo (-100,100) lub (-5,5). Widzimy, \u017ce dla dowolnej liczby r\u00f3\u017cnej od x0<\/sub><\/i> z tych przyk\u0142adowych przedzia\u0142\u00f3w wszystkie warto\u015bci funkcji s\u0105 wi\u0119ksze od minimum, czyli warto\u015bci funkcji w punkcie x0<\/sub>=0<\/i>.<\/p>\n

\n

Minimum i maksimum s\u0105 poj\u0119ciami lokalnymi, to znaczy, \u017ce obowi\u0105zuj\u0105 jedynie w pewnym przedziale. Funkcja mo\u017ce mie\u0107 kilka minimum i kilka maksimum jednocze\u015bnie. Zdarza si\u0119 te\u017c, \u017ce minimum mo\u017ce by\u0107 wi\u0119ksze ni\u017c maksimum. Przyjrzyjmy si\u0119 poni\u017cszej ilustracji, na kt\u00f3rej wykre\u015blono funkcj\u0119 okre\u015blon\u0105 w przedziale <0,4>.<\/p>\n

\"Minimum<\/p>\n

Mamy tutaj dwa maksima i dwa minima. Wida\u0107, \u017ce minimum 2 jest takie samo jak maksimum 1 (minimum wcale nie musi by\u0107 mniejsze od maksimum). Ponadto minimum wcale nie oznacza najmniejszej warto\u015bci funkcji (tutaj r\u00f3wnej 0), a maksimum nie musi by\u0107 r\u00f3wne najwi\u0119kszej warto\u015bci funkcji, kt\u00f3ra w tym przypadku wynosi 4.<\/p>\n

Dlaczego w punkcie x=4<\/i> nie mamy maksimum, a w w punkcie x=0<\/i> nie mamy minimum? Dlatego, \u017ce nie mo\u017cemy okre\u015bli\u0107 przedzia\u0142u (m,n)<\/i>, o kt\u00f3rym mowa w definicji, a kt\u00f3rego punkty 0 i 4 by\u0142yby \u015brodkiem. S\u0105 to w tym przypadku najmniejsze i najwi\u0119ksze warto\u015bci funkcji.<\/p>\n

Zadanie 499 – ekstremum funkcji i pochodna<\/h2>\n
Znale\u017a\u0107 ekstremum funkcji\u00a0<\/span>\"f(x)=2x-\\frac{1}{x}\".<\/div>\n
\n

\"ksi\u0105zki\"\u00a0<\/span>Rozwi\u0105zanie zadania uproszczone<\/h2>\n

\"f'(x)=2+\\frac{1}{x^2}\\\\
\nFunkcja nie posiada ekstremum<\/p>\n

\"ksi\u0105zki\"\u00a0<\/span>Rozwi\u0105zanie zadania ze szczeg\u00f3\u0142owymi wyja\u015bnieniami<\/h2>\n

Dana jest funkcja\u00a0<\/span>\"f(x)=2x-\\frac{1}{x}\"<\/p>\n

Aby znale\u017a\u0107 ekstremum funkcji musimy wytypowa\u0107 punkty, w kt\u00f3rych nale\u017cy ich szuka\u0107. Je\u017celi funkcja ma ekstremum w punkcie\u00a0<\/span>x0<\/sub><\/i>\u00a0<\/span>i ma w tym punkcie pochodn\u0105, to jest ona r\u00f3wna zero. Obliczamy pochodn\u0105.<\/p>\n

\"f'(x)=(2x-\\frac{1}{x})'=(2x-x^{-1})'=2+x^{-2}=2+\\frac{1}{x^2}\"<\/div>\n

Warunkiem koniecznym istnienia ekstremum, jak ju\u017c wcze\u015bniej wspomnieli\u015bmy, jest to, aby pochodna by\u0142a r\u00f3wna zeru:<\/p>\n

\"f'(x)=0\\\\<\/div>\n

U\u0142amek jest r\u00f3wny zero, gdy licznik jest r\u00f3wny zero:<\/p>\n

\"2x^2+1=0\"<\/div>\n

Mamy zwyk\u0142e\u00a0<\/span>r\u00f3wnanie kwadratowe<\/a><\/p>\n

\"\\Delta=b^2-4ac=0-4\\cdot<\/div>\n

Poniewa\u017c wsp\u00f3\u0142czynnik\u00a0<\/span>a<\/i>\u00a0<\/span>jest dodatni, a wyr\u00f3\u017cnik tr\u00f3jmianu ujemny, ramiona paraboli s\u0105 skierowane ku g\u00f3rze, wykres znajduje si\u0119 nad osi\u0105 OX. Funkcja przyjmuje tylko warto\u015bci dodatnie. Poniewa\u017c pochodna funkcji w \u017cadnym punkcie nie przyjmuje warto\u015bci r\u00f3wnej zero, to funkcja nie ma w ca\u0142ej swojej dziedzinie ekstremum.<\/p>\n

\"ksi\u0105zki\"\u00a0<\/span>Odpowied\u017a<\/h2>\n
Funkcja nie posiada ekstremum.<\/div>\n<\/div>\n

 <\/p>\n

\u017br\u00f3d\u0142o: http:\/\/www.medianauka.pl\/pochodna_a_ekstremum<\/a><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Ekstremum funkcji nazywamy minimum funkcji lub maksimum funkcji. Poni\u017cej zdefiniowano oba poj\u0119cia w oparciu o za\u0142o\u017cenie: i funkcja f jest okre\u015blona w tym przedziale.<\/p>\n

Read more →<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[1],"tags":[11,9],"class_list":["post-1245","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-bez-kategorii","tag-matematyka","tag-rozne"],"_links":{"self":[{"href":"http:\/\/u239160.webh.me\/jakisproblem.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1245","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"http:\/\/u239160.webh.me\/jakisproblem.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"http:\/\/u239160.webh.me\/jakisproblem.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/u239160.webh.me\/jakisproblem.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/u239160.webh.me\/jakisproblem.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=1245"}],"version-history":[{"count":0,"href":"http:\/\/u239160.webh.me\/jakisproblem.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1245\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"http:\/\/u239160.webh.me\/jakisproblem.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=1245"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"http:\/\/u239160.webh.me\/jakisproblem.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=1245"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"http:\/\/u239160.webh.me\/jakisproblem.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=1245"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}