{"id":1242,"date":"2015-10-12T14:59:22","date_gmt":"2015-10-12T13:59:22","guid":{"rendered":"http:\/\/www.venco.com.pl\/~cozy\/blog\/?p=1242"},"modified":"2015-10-12T14:59:22","modified_gmt":"2015-10-12T13:59:22","slug":"pochodna-a-ekstremum-funkcji","status":"publish","type":"post","link":"http:\/\/u239160.webh.me\/jakisproblem.pl\/index.php\/2015\/10\/12\/pochodna-a-ekstremum-funkcji\/","title":{"rendered":"Pochodna a ekstremum funkcji"},"content":{"rendered":"<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.medianauka.pl\/grafika\/teoria-ikona.gif\" alt=\"Teoria\" width=\"40\" height=\"30\" \/> Poj\u0119cie ekstremum zosta\u0142o om\u00f3wione w artykule <a href=\"http:\/\/www.medianauka.pl\/ekstremum_funkcji\">Ekstremum funkcji<\/a>. Tutaj zajmiemy si\u0119 wykorzystaniem rachunku pochodnych do wyznaczania ekstremum funkcji. Opieramy si\u0119 przy tym na nast\u0119puj\u0105cych twierdzeniach:<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.medianauka.pl\/grafika\/twierdzenie-ikona.gif\" alt=\"Twierdzenie\" width=\"40\" height=\"30\" \/> <strong>Twierdzenie<\/strong><\/p>\n<p>Je\u017celi <a href=\"http:\/\/www.medianauka.pl\/funkcja\">funkcja<\/a> <i>f(x)<\/i> ma ekstremum w punkcie <i>x<sub>0<\/sub><\/i> i ma w tym punkcie <a href=\"http:\/\/www.medianauka.pl\/pochodna\">pochodn\u0105<\/a>, to <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.medianauka.pl\/matematyka\/wzory\/931\/1.gif\" alt=\"f'(x)=0\" width=\"72\" height=\"22\" \/>.<\/p>\n<p>Jest to warunek konieczny istnienia minimum lub maksimum funkcji. Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe. Zobaczmy to na przyk\u0142adzie:<!--more--><\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.medianauka.pl\/grafika\/ok1.gif\" alt=\"Przyk\u0142ad\" width=\"20\" height=\"20\" \/> <strong>Przyk\u0142ad<\/strong><\/p>\n<p><img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.medianauka.pl\/matematyka\/grafika\/wykres224.jpg\" alt=\"wykres funkcji y=x^3\" \/><\/p>\n<p>Dana jest funkcja <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.medianauka.pl\/matematyka\/wzory\/931\/2.gif\" alt=\"f(x)=x^3\" width=\"72\" height=\"20\" \/>, kt\u00f3rej wykres zosta\u0142 przedstawiony obok. Przyjrzyjmy si\u0119 punktowi <i>x<sub>0<\/sub>=0<\/i>. Funkcja nie posiada w tym punkcie ani minimum, ani maksimum, natomiast gdy policzymy pochodn\u0105 w tym punkcie:<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.medianauka.pl\/matematyka\/wzory\/931\/3.gif\" alt=\"f'(x)=3x^2\\\\f'(0)=3\\cdot{0^2}=0\" width=\"120\" height=\"49\" \/><\/p>\n<p>to wida\u0107, \u017ce przyjmuje ona warto\u015b\u0107 zero.<\/p>\n<p>Zatem nie wystarczy sprawdzi\u0107, czy pochodna w danym punkcie posiada pochodn\u0105 r\u00f3wn\u0105 zeru, aby stwierdzi\u0107, \u017ce funkcja ma minimum lub maksimum.<\/p>\n<p>Natomiast z ca\u0142\u0105 pewno\u015bci\u0105, je\u017celi pochodna w danym punkcie lub przedziale ma pochodn\u0105 r\u00f3\u017cn\u0105 od zera, to nie ma w nim ekstremum.<\/p>\n<p><strong>Warunek wystarczaj\u0105cy istnienia ekstremum<\/strong><br \/>\nJe\u017celi funkcja ma pochodn\u0105 w pewnym <a href=\"http:\/\/www.medianauka.pl\/otoczenie_punktu\">otoczeniu punktu<\/a> <i>x<sub>0<\/sub><\/i>, przy czym<br \/>\n1) dla <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"wzor-top\" src=\"http:\/\/www.medianauka.pl\/matematyka\/wzory\/931\/4.gif\" alt=\"f'(x_0)&gt;0 \\ dla \\ x&lt;x_0 \\ i \\ f'(x_0)&lt;0 \\ dla \\ x&gt;x_0\" width=\"344\" height=\"24\" \/>,<br \/>\nto w punkcie <i>x<sub>0<\/sub><\/i> funkcja posiada <strong>maksimum<\/strong>.<br \/>\n2) dla <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"wzor-top\" src=\"http:\/\/www.medianauka.pl\/matematyka\/wzory\/931\/5.gif\" alt=\"f'(x_0)&lt;0 \\ dla \\ x&lt;x_0 \\ i \\ f'(x_0)&gt;0 \\ dla \\ x&gt;x_0\" width=\"344\" height=\"24\" \/>,<br \/>\nto w punkcie <i>x<sub>0<\/sub><\/i> funkcja posiada <strong>minimum<\/strong>.<\/p>\n<p>M\u00f3wi\u0105c kr\u00f3tko:<\/p>\n<div class=\"definicja\">Je\u017celi pochodna przy przej\u015bciu zmiennej <i>x<\/i> przez punkt <i>x<sub>0<\/sub><\/i> zmienia znak z ujemnego na dodatni, to funkcja <i>f(x)<\/i> osi\u0105ga <strong>minimum<\/strong> w tym punkcie.<\/p>\n<p>Je\u017celi pochodna przy przej\u015bciu zmiennej <i>x<\/i> przez punkt <i>x<sub>0<\/sub><\/i> zmienia znak z dodatniego na ujemny, to funkcja <i>f(x)<\/i> osi\u0105ga <strong>maksimum<\/strong> w tym punkcie.<\/div>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>Zobaczmy to na przyk\u0142adzie:<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.medianauka.pl\/grafika\/ok1.gif\" alt=\"Przyk\u0142ad\" width=\"20\" height=\"20\" \/> <strong>Przyk\u0142ad<\/strong><\/p>\n<p><img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.medianauka.pl\/matematyka\/grafika\/wykres224_1.jpg\" alt=\"wykres ekstremum\" \/><\/p>\n<p>Dana jest funkcja <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"wzor-top\" src=\"http:\/\/www.medianauka.pl\/matematyka\/wzory\/931\/6.gif\" alt=\"f(x)=x^3-4x^2+4x\" width=\"152\" height=\"20\" \/>, kt\u00f3rej wykres zosta\u0142 przedstawiony obok. (Sam mo\u017cesz sporz\u0105dzi\u0107 wykres tej funkcji, korzystaj\u0105c z tej <a href=\"http:\/\/www.medianauka.pl\/wykres_wielomianu#symulacja\">symulacji<\/a>)<\/p>\n<p>Znajdziemy ekstrema tej funkcji, obliczaj\u0105c pochodn\u0105 funkcji:<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.medianauka.pl\/matematyka\/wzory\/931\/7.gif\" alt=\"f'(x)=3x^2-8x+4\" width=\"144\" height=\"22\" \/><\/p>\n<p>Ekstremum szukamy w punktach, gdzie pochodna przyjmuje warto\u015b\u0107 zero. Mamy wi\u0119c:<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.medianauka.pl\/matematyka\/wzory\/931\/8.gif\" alt=\"3x^2-8x+4=0 \\\\ \\Delta=b^2-4ac=64-4\\cdot 3\\cdot 4=64-48=16\\\\ x_1=\\frac{-b-\\sqrt{\\Delta}}{2a}=\\frac{8-4}{6}=\\frac{2}{3}\\\\ x_2=\\frac{-b+\\sqrt{\\Delta}}{2a}=\\frac{8+4}{6}=2\\\\ 3(x-\\frac{2}{3})(x-2)=0\" width=\"288\" height=\"140\" \/><\/p>\n<p>Funkcja <i>f(x)<\/i> mo\u017ce mie\u0107 ekstremum tylko w punktach 2\/3 i 2<\/p>\n<p>Warto sporz\u0105dzi\u0107 tabelk\u0119 zmienno\u015bci pochodnej funkcji:<\/p>\n<p>Gdy sporz\u0105dzimy wykres:<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.medianauka.pl\/matematyka\/grafika\/wykres225.jpg\" alt=\"wykres\" \/><\/p>\n<p>to widzimy, gdzie pochodna przyjmuje dodatnie warto\u015bci (kolor niebieski), a gdzie ujemne (kolor r\u00f3\u017cowy).<\/p>\n<table class=\"systematyka\">\n<tbody>\n<tr class=\"tabl_1_1\">\n<td><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.medianauka.pl\/matematyka\/wzory\/931\/9.gif\" alt=\"(-\\infty;\\frac{2}{3})\" width=\"56\" height=\"27\" \/><\/td>\n<td><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.medianauka.pl\/matematyka\/wzory\/931\/10.gif\" alt=\"\\frac{2}{3}\" width=\"8\" height=\"27\" \/><\/td>\n<td><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.medianauka.pl\/matematyka\/wzory\/931\/11.gif\" alt=\"(\\frac{2}{3},2)\" width=\"32\" height=\"27\" \/><\/td>\n<td><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.medianauka.pl\/matematyka\/wzory\/931\/12.gif\" alt=\"2\" width=\"8\" height=\"12\" \/><\/td>\n<td><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.medianauka.pl\/matematyka\/wzory\/931\/13.gif\" alt=\"(2;\\infty)\" width=\"40\" height=\"19\" \/><\/td>\n<\/tr>\n<tr class=\"tabl_1_2\">\n<td>+<\/td>\n<td>0<\/td>\n<td>&#8211;<\/td>\n<td>0<\/td>\n<td>+<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>W punkcie 2\/3 funkcja ma wi\u0119c <b>maksimum<\/b>, w punkcie 2 &#8211; <b>minimum<\/b>. Musimy je jeszcze obliczy\u0107. Wystarczy policzy\u0107 warto\u015b\u0107 funkcji w tych punktach:<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.medianauka.pl\/matematyka\/wzory\/931\/14.gif\" alt=\"f(\\frac{2}{3})=(\\frac{2}{3})^3-4\\cdot(\\frac{2}{3})^2+4\\cdot \\frac{2}{3}=\\frac{8}{27}-4\\cdot \\frac{4}{9}+\\frac{8}{3}=\\frac{8}{27}-\\frac{48}{27}+\\frac{72}{27}=\\frac{32}{27}=1\\frac{5}{27}\" width=\"464\" height=\"29\" \/><br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.medianauka.pl\/matematyka\/wzory\/931\/15.gif\" alt=\"f(2)=2^3-4\\cdot 2^2+4\\cdot 3=8-16+8=0\" width=\"264\" height=\"21\" \/><\/p>\n<p>\u0179r\u00f3d\u0142o: http:\/\/www.medianauka.pl\/pochodna_a_ekstremum<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p class=\"excerpt\">Poj\u0119cie ekstremum zosta\u0142o om\u00f3wione w artykule Ekstremum funkcji. Tutaj zajmiemy si\u0119 wykorzystaniem rachunku pochodnych do wyznaczania ekstremum funkcji. Opieramy si\u0119 przy tym na nast\u0119puj\u0105cych twierdzeniach: Twierdzenie Je\u017celi funkcja f(x) ma ekstremum w punkcie x0 i ma w tym punkcie pochodn\u0105, to . Jest to warunek konieczny istnienia minimum lub maksimum funkcji. Twierdzenie odwrotne nie jest&hellip;<\/p>\n<p class=\"more-link-p\"><a class=\"more-link\" href=\"http:\/\/u239160.webh.me\/jakisproblem.pl\/index.php\/2015\/10\/12\/pochodna-a-ekstremum-funkcji\/\">Read more &rarr;<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[1],"tags":[11],"class_list":["post-1242","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-bez-kategorii","tag-matematyka"],"_links":{"self":[{"href":"http:\/\/u239160.webh.me\/jakisproblem.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1242","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"http:\/\/u239160.webh.me\/jakisproblem.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"http:\/\/u239160.webh.me\/jakisproblem.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/u239160.webh.me\/jakisproblem.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/u239160.webh.me\/jakisproblem.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=1242"}],"version-history":[{"count":0,"href":"http:\/\/u239160.webh.me\/jakisproblem.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1242\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"http:\/\/u239160.webh.me\/jakisproblem.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=1242"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"http:\/\/u239160.webh.me\/jakisproblem.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=1242"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"http:\/\/u239160.webh.me\/jakisproblem.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=1242"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}