{"id":1144,"date":"2015-05-10T18:06:02","date_gmt":"2015-05-10T17:06:02","guid":{"rendered":"http:\/\/www.venco.com.pl\/~cozy\/blog\/?p=1144"},"modified":"2022-07-11T13:13:46","modified_gmt":"2022-07-11T11:13:46","slug":"paradoks-zbioru-wszystkich-zbiorow","status":"publish","type":"post","link":"http:\/\/u239160.webh.me\/jakisproblem.pl\/index.php\/2015\/05\/10\/paradoks-zbioru-wszystkich-zbiorow\/","title":{"rendered":"Paradoks zbioru wszystkich zbior\u00f3w"},"content":{"rendered":"

-„Czy zbi\u00f3r wszystkich zbior\u00f3w, kt\u00f3re nie zawieraj\u0105 siebie samych, zawiera sam siebie?”<\/p>\n

-„Je\u015bli zawiera, to nie zawiera. A je\u015bli nie zawiera to zawiera”<\/p>\n

Innymi s\u0142owy zbi\u00f3r wszystkich zbior\u00f3w, kt\u00f3re nie zawieraj\u0105 siebie samych, zawiera sam siebie wtedy i tylko wtedy kiedy sam siebie nie zawiera (Z<\/i>\u00a0\u2208\u00a0<\/span>Z<\/i>\u00a0wtedy i tylko wtedy, gdy\u00a0<\/span>Z<\/i>\u00a0\u2209\u00a0<\/span>Z<\/i>.)<\/span><\/p>\n

<\/p>\n

Paradoks odkryty w 1901 r. przez Bernarda Russella, wskazuje na zasadniczy niedostatek teorii zbior\u00f3w Georga Cantora, b\u0119d\u0105cej rozwini\u0119ciem prostego poj\u0119cia „kolekcji element\u00f3w maj\u0105cych jak\u0105\u015b wsp\u00f3ln\u0105 cech\u0119”, wprowadzonego przez Bolzan\u0119.<\/p>\n

Zbi\u00f3r wszystkich zbior\u00f3w jest zbiorem (a tym samym zawiera sam siebie), tak jak zbi\u00f3r wszystkich hase\u0142 na li\u015bcie (mo\u017ce pojawi\u0107 si\u0119 jako has\u0142o na li\u015bcie), ale zbi\u00f3r wszystkich liczb nie jest liczb\u0105, a tym samym nie zawiera sam siebie. Odwo\u0142uj\u0105c si\u0119 do tej w\u0142asno\u015bci, mo\u017cemy zdefiniowa\u0107 „zbi\u00f3r wszystkich zbior\u00f3w, kt\u00f3re nie zawieraj\u0105 same siebie”\u00a0 i zapyta\u0107, czy ten zbi\u00f3r zawiera sam siebie, czy nie. Je\u015bli ten zbi\u00f3r zawiera sam siebie (Z \u2208\u00a0<\/span>Z)<\/i>, to jest jednym ze zbior\u00f3w, kt\u00f3re nie zawieraj\u0105 same siebie ({Z:Z<\/i>\u00a0\u2209\u00a0<\/span>Z<\/i>}), a tym samym nie mo\u017ce siebie zawiera\u0107. Ale je\u015bli nie zawiera sam siebie, to nie ma cechy „niezawierania samego siebie”, a tym samym zawiera sam siebie.<\/p>\n

Chocia\u017c historycznie paradoks Russella powsta\u0142 w kontek\u015bcie teorii zbior\u00f3w, sam Russell postrzega\u0142 go p\u00f3\u017aniej jako przypadek zasadniczo zwi\u0105zany z autoreferencjno\u015bci\u0105, to znaczy rodzajem wypowiedzi, kt\u00f3re odnosz\u0105 si\u0119 do samych siebie, jak zdanie Eubulidesa: „Teraz m\u00f3wi\u0119 wam nieprawd\u0119”.<\/p>\n

Przypu\u015b\u0107my, \u017ce Z to zbi\u00f3r<\/a> wszystkich zbior\u00f3w, czyli Z={X:1}.<\/p>\n

Na mocy twierdzenia Cantora<\/a> mo\u017cna udowodni\u0107, \u017ce zbi\u00f3r pot\u0119gowy<\/a> dowolnego zbioru X (zbi\u00f3r wszystkich podzbior\u00f3w zbioru X) ma moc<\/a> wi\u0119ksz\u0105 od mocy X.<\/p>\n

A zatem zbi\u00f3r pot\u0119gowy z Z ma moc wieksz\u0105 od mocy Z, co jest niemo\u017cliwe, gdy\u017c z definicji Z jego zbi\u00f3r pot\u0119gowy tak\u017ce si\u0119 w nim zawiera.<\/p>\n

Paradoks ten jest po prostu dowodem, m\u00f3wi\u0105cym, \u017ce nie ma zbioru wszystkich zbior\u00f3w. By\u0142o to jednak stwierdzenie o tyle paradoksalne, i\u017c tw\u00f3rcy teorii mnogo\u015bci nie widzieli \u017cadnych podstaw, aby unikn\u0105\u0107 jego istnienia. W ko\u0144cu okaza\u0142o si\u0119, \u017ce problem le\u017ca\u0142 w nie\u015bcis\u0142ym okre\u015bleniu poj\u0119cia zbioru. Skuteczna aksjomatyka teorii mnogo\u015bci pozwoli\u0142a zbudowa\u0107 sp\u00f3jn\u0105 teori\u0119 woln\u0105 od paradoks\u00f3w.<\/p>\n

ZBI\u00d3R POT\u0118GOWY<\/p>\n

If S<\/i> is the set {x<\/i>, y<\/i>, z<\/i>}, then the subsets of S<\/i> are:<\/p>\n